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Courir sous la pluie

27 Juin 2006, 11:03am

Publié par Fabien Besnard

En 1999 j'ai rédigé un petit article se voulant humoristique, et dont l'intérêt n'échappera à personne. Il s'agissait de donner une réponse définitive à cette question éternelle : faut-il courir ou marcher pour être le moins mouillé sous la pluie ? Il y a 3 ans ces travaux de première importance avaient attiré l'attention de l'émission E=M6, toujours à l'affût de ce qui peut faire un bon sujet saisonnier de 50 secondes, coco. Les moyens considérables de la petite chaîne qui monte, en l'occurrence deux cobayes plus ou moins volontaires pour passer un après-midi à se faire doucher copieusement par des pompiers,  furent donc mis à la disposition de la science de pointe (votre serviteur, qui attend toujours qu'on lui rembourse le déplacement). Quant aux résultats ils dépassèrent mes espérances les plus folles. Après pesée de T-shirt mouillés, l'écart à la théorie fut de 10 % seulement !

Je pensais que des expériences d'une telle précision allaient clore définitivement le sujet, or il y a quelques jours je découvris avec stupéfaction un fil sur la question dans fr.sci.maths. Il semble que l'on s'intéresse encore à la chose, même en Amérique, où toujours à la pointe de la technologie, on a développé un petit calculateur permettant de déterminer avec précision la quantité de pluie reçue par un quidam pluviophobe. On notera que la formule à la base du calcul est tenue secrète, probablement pour des sombres histoires de royalties et de complexe militaro-industriel, tandis que la mienne est depuis longtemps dans le domaine public. Quel journaliste aura le courage de dénoncer ce scandale au moins équivalent à celui de la pseudo-découverte du virus du Sida par Gallo ? Mais que les yankees se rassurent (car je sens qu'ils tremblent) je ne porterai pas plainte, car moi je ne travaille pas pour quelques poignées de dollars, non, moi j'oeuvre seulement au bien de l'humanité, et à sa défense contre l'humidité.

Néanmoins, je tiens à affirmer ma priorité en cas de prix Ig-Nobel, même si je crains que les recherches en pluvio-physique ne soient pas tout à fait assez débiles pour recevoir une telle distinction. En effet, la concurrence est rude en terme de recherche stupide, puisque, comme on l'apprend dans l'excellent "Au fond du labo à gauche" d'Edouard Launet, en 2000 un chercheur britannique, Richard Stone, a réussi à convaincre l'armée de mettre à sa disposition un patrouilleur brise-glace avec à son bord deux hélicoptères de type Lynx pour répondre à cette taraudante question : est-ce que oui ou non les manchots se cassent la gueule quand ils regardent passer les avions ? La réponse est non.  Respect.

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Mathématique électorale

23 Juin 2006, 11:15am

Publié par Fabien Besnard

Je viens d'achever la lecture du livre "Le suffrage universel inachevé" de Michel Balinski. Ce livre aborde des questions très peu discutées en France, en tout cas médiatiquement. C'est fort malheureux car elles sont essentielles pour la démocratie : il s'agit ni plus ni moins que de réaliser le slogan "un homme, une voix". On aurait tort de croire que le suffrage universel tel qu'il est pratiqué aujourd'hui en France est le fin mot de l'histoire. En effet, il ne suffit pas que chacun ait le droit de vote, encore faut-il que les voix de chacun aient le même poids. Or cela n'est pas assuré, et loin s'en faut, en pariculier pour les élections législatives. Le premier problème est celui du découpage des circonscriptions. Balinski rappelle que la 2e circonscription de Lozère compte 34 374 habitants, tandis que la 2e du Val d'Oise en compte 188 200 (rappelons qu'il y a un député par circonscription). La voix d'un habitant de la 2e de Lozère pèse donc 5,5 fois plus que celle d'un habitant de la 2e du Val d'Oise. Rien ne saurait justifier une telle inégalité. Le silence de la classe politique devant une telle question en dit long sur son éloignement des principes fondateurs de la République. Ces principes sont en effet sacrifiés au bénéfice de la population rurale qui est sacralisée en France (rappelons que les ruraux sont déjà outrageusement sur-représentés au Sénat). On pourrait mutliplier les exemples d'inégalités dans l'actuelle répartitions des députés : il arrive qu'un département moins peuplé ait plus de députés qu'un département plus peuplé, par exemple la Saône-et-Loire a un député de plus que la Réunion, mais... 160 000 habitants de moins ! L'égalité des citoyens exigerait que les circonscriptions aient à peu près le même nombre d'habitants, et on s'étonne qu'un principe aussi fondamental pour le fonctionnement d'une démocratie représentative soit absent de notre Constitution. Balinski rappelle qu'au contraire, la classe politique française a toujours considéré les règles électorales comme affaire de circonstance, et que les tripatouillages les plus indécents se sont succédés, généralement hors de la vue des électeurs (on peut tout-de-même s'étonner du silence des médias, qui là encore ont perdu une occasion de jouer leur rôle de contre-pouvoir).

Aux Etats-unis, la cour suprême a eu à traiter de telles affaires de découpages contestables. Selon sa jurisprudence, des efforts sincères doivent être faits pour éviter les écarts de population entre circonscriptions. Elle a ainsi rejeté des découpages qui engendrait une inégalité de quelques personnes sur des dizaines de milliers, soit une inégalité relative de 0,01 % ! On pourrait croire que les Etats-Unis ont conséquemment le système électoral le plus égalitaire au monde, malheureusement il n'en est rien. Car si la cour suprême est très sensible aux écarts de population, elle a entériné des découpages de formes bizarroïdes (nommés gerrymandres en souvenir du gouverneur Gerry qui s'est rendu célèbre pour un découpage en forme de salamandre).  Puisqu'aucun respect des entités géographiques ou sociales n'est exigé, on peut s'amuser à faire passer les frontières d'une circonscription au mileu d'un quartier, voire exclure le domicile d'un candidat particulier (ça s'est déjà vu, et les conséquences sont lourdes puisqu'un représentant doit résider dans sa circonscription selon la loi américaine). Le but de la maneuvre est évidemment de diluer les voix de ses adversaires, de les regrouper dans les circonscriptions où ils sont largement majoritaires, etc... On peut ainsi favoriser le camp au pouvoir, et Démocrates comme Républicains ne s'en sont pas privés. Les opinions politiques des électeurs américains étant plus stables et plus prévisibles qu'en France, ces techniques sont terriblement efficaces. Ainsi Balinski rappelle que les démocrates ont gagné 55% des sièges de la Géorgie en 2002, alors que les Républicains avaient obtenus 55% des voix ! Mais les Républicains ne sont pas en reste, ainsi toujours aux élections législatives de 2002, "dans les états de Floride, Michigan, Ohio et Pennsylvanie où les deux partis majeurs sont essentiellement à égalité [...] les Républicains élurent 51 représentants et les Démocrates seulement 26". Dans tous les états où ils sont au pouvoir et où l'occasion s'est présentée (les redécoupages n'ont lieu qu'une fois tous les 10 ans) les Républicains ont fait en sorte de s'assurer la victoire aux prochaines élections. De l'avis des experts, seul un raz-de-marée Démocrate pourrait contrecarrer cette belle machinerie, obtenue avec l'aide de logiciels et de supercalculateurs ! Face à celà le découpage Pasqua, pourtant connu pour favoriser la droite, fait figure de bidouillage d'amateur. Il est vrai qu'en France le découpage doit respecter l'integrité des cantons.

Balinski aborde aussi d'autres questions, comme celles de l'interprétation du vote des électeurs, poursuivant ainsi une tradition initiée par Condorcet et Borda, et je manque de temps pour faire justice à son travail. Mais le plus important à mon sens est sa présentation de solutions relativement simples dont on peut mathématiquement démontrer qu'elles sont les meilleures aux problèmes qu'il (ou plutôt devrais-je dire que la démocratie) soulève. Car en effet ce domaine des mathématiques électorales et sociales est aussi celui de théorèmes d'impossibilité tel que celui d'Arrow, résultats souvent utilisés, ainsi que le prétendu manque d'intérêt des citoyens pour les questions "techniques", pour justifier l'absence d'effort des politiques pour améliorer la situation. En réalite ces justifications n'ont pour seul but que de laisser le champ libre aux truqueurs, et si les citoyens ne se saisissent pas de cette question, la démocratie pourrait finir par se vider de sa substance.

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Un scandale dont on ne parlera pas...

20 Juin 2006, 08:59am

Publié par Fabien Besnard

Depuis quelques années les QCM sont à la mode au baccalauréat. Il n'y a là rien de choquant en soi, les QCM sont une très bonne manière de tester les connaissances des candidats sur une large partie du programme sans que cela prenne trop de temps puisqu'il n'y a rien à rédiger. Mais il paraît évident qu'une notation juste doit faire en sorte que celui qui répond totalement au hasard obtienne la note zéro.

Rien ne peut le garantir pour un candidat particulier, qui peut toujours être très chanceux, mais on peut le garantir très simplement pour la moyenne de l'ensemble des candidats en faisant en sorte que l'espérance de gain soit nulle si on répond au hasard. Cela signifie très simplement que pour chaque question, le nombre de points accordés pour la bonne réponse doit être compensé par un même nombre de points négatifs distribué sur les mauvaises réponses. Pour l'exemple le plus simple d'un questionnaire OUI/NON, on doit donner 1 point pour la bonne réponse et retrancher 1 point pour la mauvaise réponse. A la fin du QCM les notes inférieures à zéro sont ramenées à zéro. Tous les QCM sérieux fonctionnent ainsi ou d'une manière équivalente (on peut, mais c'est plus compliqué, utiliser l'écart entre la note obtenue et la note espérée par le hasard).

Et bien si on s'en tient à ce critère, le bac n'est pas un examen sérieux, contrairement à ce que voudraient nous faire croire les marronniers du JT. En effet cette année en série S, un QCM de géométrie où il fallait répondre à 5 questions par oui ou par non était noté de la manière suivante (indiquée sur le sujet) : 1 point par réponse juste, 0 par réponse fausse. Nul besoin d'être très calé en maths pour comprendre que cela équivaut à un cadeau de 2,5 points en moyenne pour les candidats les plus faibles en géométrie. La réalité est légèrement pire puisque la première question était si triviale que j'ai peine à imaginer qu'un élève de terminale S puisse ne pas savoir y répondre. En répondant correctement à cette question puis au hasard aux autres questions on obtient donc 3 points en moyenne, coefficient 7. Mais dire qu'on brade le bac n'étant pas politiquement correct, voilà un scandale dont on n'entendra certainement pas beaucoup parler.

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Les trois bosses des maths

9 Juin 2006, 10:06am

Publié par Fabien Besnard

Il est toujours délicat de chercher à définir précisément de quoi s'occupe la science mathématique. Pour ma part je distingue trois types d'activités qui me semblent correspondre à trois types d'intuitions distinctes, et probablement à des fonctions distinctes du cerveau.

Il y a d'abord (parce qu'il faut bien commencer quelque part, je ne cherche pas à hiérarchiser le moins du monde) l'activité géométrique. L'intuition géométrique est l'une des plus répandue parmi les mathématiciens, elle est aussi l'une des plus puissantes, probablement parce qu'elle est associé à l'aire du cerveau qui traite les informations visuelles, particulièrement développée.

Il y a aussi l'activité analytique, qui traite de comparaison ou de relation entre les quantités. Il existe sûrement une zone cérébrale dédiée à ce type de question.

Enfin je distingue l'activité logico-algébrique, qui traite des relations formelles et de l'application des règles. La zone cérébrale associé me paraît clairement être celle du langage.

Il est certain que ces trois activités ne sont pas toujours clairement distinguées dans la pratique quotidienne du mathématicien, plusieurs d'entre elles pouvant être sollicités par un même problème. De plus, la méthode axiomatique qui sous-tend aujourd'hui la totalité des mathématiques, rend nécessaire in fine la formulation et la résolution d'un problème en termes logico-algébriques. Il est même possible (et tout étudiant en maths en a fait l'expérience) de résoudre complètement un problème de nature géométrique (par exemple) par une manipulation formelle des hypothèses. On dit alors qu'on a réussi à démontrer un résultat sans le comprendre, mais je soupçonne que le mot comprendre renvoie en fait à la mobilisation de l'aire visuelle (dans cet exemple) du cerveau. Le plus souvent cependant, c'est l'inverse qui se produit. Face à un problème de nature logico-algébrique ou analytique, une traduction géométrique, ou même une simple analogie, permet de résoudre le problème. Ce type de "pont" entre questions de différentes natures est très fécond, et est généralement considéré comme profond.

Ceci étant dit, il reste qu'on distingue des mathématiciens qui sont plutôt géomètres, plutôt analystes, ou plutôt algébristes (ou logiciens). J'aimerais beaucoup avoir votre avis, cher lecteur, sur cette question. 

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Un livre étrange

6 Juin 2006, 17:49pm

Publié par Fabien Besnard

Alors que  je farfouillais dans le rayon science d'une FNAC mon regard fut attiré par un livre coordonné (et non pas écrit, comme je l'ai trop vite lu) par Marc Lachièze-Rey, et intitulé "L'espace physique entre mathématiques et philosophie".  Aguiché par la 4e de couverture et positivement disposé à l'égard de M. L-R, je n'ai pas hésité longtemps avant d'en faire l'acquisition. Mal m'en a pris. Je m'attendais à des réflexions philosophico-mathématiques sur la nature de l'espace physique, nourrie par les théories spéculatives du moment (cordes, boucles, géométrie non-commutative, twisteurs...), mais rien, ou si peu, de tout cela. Ce livre est un assemblage d'articles disparates, pour la plupart extrêmement spécialisés. Il n'y a pas de lien évident en effet entre le statut de l'espace selon Kant et la géométrisation des équations de l'électromagnétisme en milieu diélectrique. Ou s'il y en a un, personne pour l'expliciter. On peut se demander ce qu'un ouvrage aussi spécialisé fait à la FNAC... Dans ce patchwork mal ficelé émergent tout-de-même quelques articles intéressants (je préfère parler de ceux-là que de ceux qui ne m'ont pas plu ou qui sont à mon sens beaucoup trop techniques pour le public visé) comme celui de Serge Reynaud sur les fluctuations du vide quantique, ou celui de Jean-Marc Levy-Leblond sur les amusantes généralisations du théorème de Pythagore. Par exemple, en dimension 3, si on prend un tétraèdre OABC tel que les côtés se coupant en O soient mutuellement orthogonaux alors le carré de l'aire du triangle ABC est égal à la somme des carrés des aires des autres faces. Je ne vous gâcherai pas le plaisir de démontrer ce fait que, comme beaucoup je crois, j'ignorais. Allez, je n'ai donc pas perdu complètement mon temps ni mon argent !

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