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Le Bac S de 2013 sera un sous-Bac D de 1993

29 Juin 2012, 09:25am

Publié par Fabien Besnard

Ce billet est né d'un agacement. Celui de se voir si souvent rétorquer des poncifs et autres idées reçues lorsque, en tant qu'enseignant de mathématiques, on a l'audace de se plaindre de voir sa matière si mal traitée par les réformes diverses. « Il n'y en a que pour les mathématiques en France », « C'est la matière de sélection », « Vous vous plaignez que le niveau baisse, mais vous disiez la même chose il y a 50 ans », etc.

 

Ces remarques sont généralement proférées par des gens qui ignorent tout de l'évolution du système éducatif français sur les 30 dernières années. C'est de leur seul passage sur les bancs de l'école qu'ils tirent leurs puissantes conclusions.

 

Face à cette illusion, ce miroir déformant du souvenir, dont, il faut bien le reconnaître, nous sommes tous un peu victimes, on ne peut opposer que des faits. Voici donc quelques données pour rappeler le contexte historique. Je les ai tirées en grande partie des articles de Daniel Duverney trouvés sur son site web, qu'il faut absolument lire. Je me suis contenté de mettre à jour les données et de les compléter avec les modifications entraînées par la nouvelle réforme.

 

 

Je me concentre ici essentiellement sur le cycle terminal, et je fais appel à vous pour compléter mes informations, notamment sur l'évolution des horaires, en classe de seconde, au collège et dans le primaire.

 

Voici d'abord un tableau résumant l'évolution des horaires obligatoires en maths, physique-chimie et SVT pour la filière scientifique.

 

tablesreunies4

 

Depuis 1994 les élèves de Terminale S doivent choisir un enseignement de spécialité de 2h hebdomadaire, soit en mathématiques, soit en physique-chimie, soit en SVT.

 

En se basant sur une année de 32 semaines de cours, voici un récapitulatif du nombre d'heures d'enseignement scientifique sur le cycle terminal suivant les spécialités :

 

cumul2.jpg

 

On constate tout d'abord une tendance marquée au « toujours moins de maths », le volume horaire maximal en mathématiques étant une fonction strictement décroissante du temps, si bien que dès l'année prochaine, un bachelier S spé maths aura fait moins de mathématiques en cycle terminal qu'un bachelier D de 1990. Il aura fait également moins de physique et moins de SVT. Est-il concevable qu'un futur ingénieur, un futur enseignant ou chercheur, soit bientôt moins bien formé en mathématiques et en physique qu'un médecin ayant passé son bac en 1990 ?

 

Précisons que la diminution des heures en seconde et au collège ne fait que renforcer la tendance que je viens de décrire. Et tout ceci se fait dans l'indifférence générale, alors que la suppression d'une partie des heures d'histoire-géographie en série S a eu un immense écho médiatique... Bien entendu, en disant cela je n'attaque en aucune façon cette matière respectable, je constate que d'une façon générale, en France, aujourd'hui, on se fiche éperdument des sciences. Mais quelles conséquences économiques et sociales pour demain ?

 

Lorsqu'ils sont confrontés à la brutale réalité des chiffres précédents, les nouveaux Pangloss et autres ravis de la crèche répondent parfois que, s'il est vrai que le niveau en sciences des nouveaux bacheliers ne peut que baisser par rapport à ceux de la génération précédente, il y a, en revanche, tellement plus de bacheliers que le niveau scientifique global de la population augmente. Le graphique suivant tord le cou à cette idée naïve, au moins pour les mathématiques.

courbep2

 

La courbe rouge indique le nombre de bacheliers scientifique ayant suivI le moins d'heures de mathématiques possible en terminale (bacheliers D en 1983, bacheliers S spé PC ou SVT en 2011), et la courbe bleue indique le nombre de ceux qui en ont suivi le plus possible (bacheliers C en 1983, bacheliers S spé maths en 2011). Précisons que le minimum était de 6h sur la période 1983-2002, et qu'il est tombé à 5,5 h sur la période 2003-201, et que le maximum était de 9h de 1983 à 1994, de 8h de 1995 à 2002, et de 7h30 de 2003 à 2011.

 

On constate ainsi que, malgré l'augmentation considérable du nombre de bacheliers scientifiques, dont témoigne la forte croissance de la courbe rouge, il y a aujourd'hui moins, en valeur absolue, de bacheliers ayant suivi le maximum d'heures de mathématiques qu'il y a 30 ans, et près de moitié moins qu'il y a 20 ans.

 

Ainsi, non seulement les « matheux » sont aujourd'hui moins bien formés en mathématiques, mais il y en a de moins en moins ! Le niveau ne baisse donc pas seulement individuellement mais globalement. Les deux phénomènes ne sont d'ailleurs pas indépendants, puisque, comme le rappelle Daniel Duverney, le niveau dans la matière détermine le choix de l'option. Autrement dit, il est difficile de s'intéresser à une matière pour laquelle on a été mal formé, avec des horaires indigents et un programme inepte.

 

 

Remarque concernant le graphique : pour les années 1983-2003 j'ai repris les courbes de Daniel Duverney, pour les années suivantes j'ai pris les données sur le site de la Depp (France métropolitaine+DOM, public+privé)

 

MAJ du 02/07/2012 : J'ai ajouté les horaires de seconde manquant, merci à Emmanuel Bourreau.

 

Par ailleurs je signale l'existence d'une pétition. Jetez un coup d'oeil à la liste des signataires :

 

  • Assemblée des Directeurs d'Instituts de Recherche sur l'Enseignement des Mathématiques (ADIREM),
  • Association des Femmes Ingénieurs (FI),
  • Association des Professeurs de Biologie-Géologie (APBG),
  • Association des Professeurs de Mathématiques de l'Enseignement Public (APMEP),
  • Association des proviseurs des lycées à classes préparatoires aux grandes écoles (APLCPGE),
  • Association Femmes & Mathématiques,
  • Association Femmes & sciences,
  • Association Française des Femmes Diplômées des Universités (AFFDU),
  • Conférence des grandes écoles (CGE),
  • Conseil National des Ingénieurs et Scientifiques de France (CNISF),
  • Fédération française de sociétés scientifiques (F2S, regroupe la SFP, la SFO et la SEE),
  • Société Chimique de France (SCF),
  • Société de l’électricité, de l'électronique et des technologies de la communication (SEE),
  • Société de mathématiques appliquées et industrielles (SMAI),
  • Société française de physique (SFP),
  • Union des Professeurs de Physiologie, Biochimie et Microbiologie (UPBM),
  • Union des professeurs de physique et de chimie (UdPPC),
  • Union des professeurs de spéciales (UPS),
  • Union des professeurs des CPGE agronomiques, biologiques, géologiques et vétérinaires (UPA),
  • Union des professeurs enseignant les disciplines littéraires dans les CPGE scientifiques (UPLS)

 

et ce n'est pas tout, suivent un certain nombre de grands noms de la science, dont quatre prix Nobel et un médaillé Fields. Je crois que cette implication du monde de la recherche et de l'enseignement supérieur sur une question relative à l'enseignement secondaire est tout-à-fait exceptionnelle.

 

 

-Je suis en train de regarder l'évolution des horaires du collège, je mettrai à jour l'article quand j'aurai le temps.

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Un petit dessin...

27 Juin 2012, 11:35am

Publié par Fabien Besnard

quenul2.jpg

...qui parfois vaut mieux qu'un long discours. Désolé pour la naïveté du trait, je ne recommencerai plus...

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Pourquoi la Géométrie ? Un exemple élémentaire.

19 Juin 2012, 12:07pm

Publié par Fabien Besnard

Nous avons vu que la géométrie était la grande victime des nouveaux programmes du Lycée, et bientôt des prépas.

Je voudrais montrer sur un exercice classique, que certains trouveront peut-être trivial, mais qui me semble un bon exemple de l'intérêt (je ne dis pas supériorité) et de la portée des méthodes géométriques.

 

Étant donnée une droite δ, deux points A et B du même côté de celle-ci, et un point X sur δ, il s'agit de trouver la position de X qui minimise la somme des distances AX+XB. Nous noterons M le point de δ qui réalise le minimum.

 

figblog1.jpg

 

La première méthode qui vient à l'esprit est analytique. En utilisant les notations indiquées sur la figure, il s'agit donc de trouver x pour que la quantité

f(x)=√(x2+a2)+√(b2+(d-x)2)

soit minimale. La fonction f est dérivable, et on trouve

f'(x)=x/√(x2+a2)+(x-d)/√(b2+(d-x)2)

Notons que ce calcul de dérivée ne peut, dans le cadre des nouveaux programmes, être envisagé qu'en terminale S. Et encore, il est d'une difficulté bien supérieure à ce qu'on trouve généralement dans les énoncés de Bac. Il fait certainement partie des calculs  "très techniques" pour lesquels le programme conseille l'utilisation d'un logiciel de calcul formel !

On doit ensuite résoudre l'inéquation f'(x)>0 :

f'(x)>0↔x/√(x2+a2)>(d-x)/√(b2+(d-x)2)
           ↔x2/(x2+a2)>(d-x)2/(b2+(d-x)2) 

           ↔x2b2>(d-x)2a2 

           ↔xb>(d-x)a   

           ↔x>ad/(a+b) 

 
Il y a 5 étapes dans cette résolution (et encore, je suis allé vite sur la fin), donc autant d'occasions de se tromper. De plus, il faut penser à justifier à deux endroits en utilisant la croissance stricte de la fonction x→x2.

 


Une fois qu'on a fait tout ça on peut donner le tableau de variation qui laisse apparaître un minimum pour x=ad/(a+b).

Cette méthode est bien sûr parfaitement respectable. Les (rares) élèves qui seraient capables de la mener à bien sans erreur et en donnant toutes les justifications mériteraient les éloges de leur professeur.

Réfléchissons cependant à la démarche suivie. Dès le départ elle est assez automatique : elle relève de la bonne application d'une méthode universelle (merci à MM. Descartes, Newton et Leibniz), et ne nécessite pratiquement pas de réflexion. Enfin, la solution apparaît à la dernière étape du calcul, sans que l'on sache pourquoi on tombe sur cette valeur et pas sur une autre. C'est encore pire pour ceux qui auront eu besoin d'un logiciel de calcul pour la dérivée : ils n'auront fait qu'assister passivement à une résolution qui leur échappe complétement. Comme le dit Jean-Jacques Rousseau (citation repérée dans ce texte de Daniel Perrin)

 

Je n'aimais pas cette maniere d'opérer sans voir
ce qu'on fait, et il me semblait que résoudre
un probleme de géometrie par les équations,
c'était jouer un air en tournant une manivelle.



Comme beaucoup d'entre vous le savent, il existe une solution bien plus élégante. Il suffit de construire le point B', symétrique de B par rapport à la droite δ  (voir la figure 2). Comme AX+XB=AX+XB', minimiser l'une de ces sommes revient à minimiser l'autre. Or il est bien connu  que la ligne droite étant le plus court chemin d'un point à un autre, la somme des distances est minimale lorsque A,X,B' sont alignés, autrement dit M est l'intersection de la droite (AB') avec la droite δ.

 

figblog2.jpg


Maintenant que la position de M est connue, on peut trouver, si on la désire, son abscisse sur δ à l'aide du théorème de Thalès (version "papillon").

Voyons les différences avec la première méthode. Tout d'abord il est difficile de démarrer : on peut sécher pendant un moment. Ici je me permets de citer une phrase d'Alain Connes (toujours issue du même texte de Daniel Perrin) :

J'ai toujours pensé que l'on progressait davantage en séchant sur un
problème de géomètrie qu'en absorbant toujours plus de connaissances mal digérées.


La difficulté vient ici du fait qu'il faut construire quelque chose qui n'existe pas dans l'énoncé initial. Il faut donc faire preuve d'initiative et de créativité. Il est notoire que ce sont les deux qualités qui manquent le plus aux élèves actuels : le fait qu'ils aient été exposés à si peu de Géométrie ni est peut-être pas étranger.

Cependant, dès que le point B' est construit, la solution devient évidente ! On a vraiment le sentiment de comprendre pourquoi le point M est là et pas ailleurs. De plus, la solution donne une construction géométrique très simple du point M, alors que la première méthode ne donne qu'une abscisse (si on cherche à construire cette abscisse géométriquement on retombe sur la deuxième méthode). Enfin, elle donne une autre information, capitale, que l'on aurait été bien en peine de trouver avec la première méthode : les angles α et β sont égaux lorsque X est en M. Ce n'est pas anecdotique : cela fait le lien avec les lois de la réflexion et le principe de Fermat. En un mot la méthode géométrique est plus féconde (dans cet exemple).

Elle est plus élémentaire aussi : elle n'utilise que les propriétés des symétries axiales et l'inégalité triangulaire, qui sont, encore pour l'instant, au programme du collège. (Cela rend d'ailleurs peut-être l'exercice difficile pour des Lycéens, car ces connaissances, en particulier l'inégalité triangulaire, sont lointaines, et n'ont été que très peu entretenues en Seconde.)

Bien sûr, certains pourront objecter qu'elle relève de l'astuce : il est probable que très peu d'élèves auront l'idée de construire le point B'. À ceci on peut répondre deux choses.

 

Premièrement, le professeur peut guider les élèves, leur faire deviner l'astuce : cela peut rendre l'exercice ludique et interactif (il sera bien plus difficile de rendre la première méthode ludique). Le professeur pourra faire remarquer qu'il s'agit de minorer une somme de deux distances : quel théorème de Géométrie donne un tel résultat ? L'élève qui comprend le "truc" en premier aura en prime le plaisir de cet instant de découverte où l'on pourrait s'écrier "Euréka !"  Où ailleurs qu'en Géométrie peut-on, à un niveau élémentaire, faire ressentir cette joie aux élèves ? Il serait vraiment dommage de s'en priver.

 

Deuxièmement, les deux méthodes peuvent se compléter : on peut commencer par la méthode analytique, puis placer le point M à l'aide d'une règle, ce qui peut éventuellement conduire à l'idée d'une méthode géométrique (l'expression du résultat peut aussi éventuellement faire penser au théorème de Thalès).

 

Terminons sur une variante de cet exercice qui servira à illustrer un autre attrait de la Géométrie : la variété des méthodes, qui permet là aussi d'exercer la créativité des élèves.

Il s'agit maitenant d'envoyer une boule de billard du point A au point B en la faisant rebondir sur la droite δ. Autrement dit, il faut trouver la position de X telle que les angles α et β soient égaux. Voici trois méthodes, on peut sûrement en imaginer d'autres :

1) On écrit l'égalité des tangentes des angles.
2) On utilise les triangles semblables.
3) On construit le point B' et on utilise les angles opposés par le sommet.

Notons que la deuxième méthode, intéressante car elle ne nécessite pas de construction intermédiaire, n'est plus au programme (à quelque niveau que ce soit).





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Quelques rumeurs sur le futur programme de prépa

8 Juin 2012, 12:45pm

Publié par Fabien Besnard

Je reviens d'une conférence (le 5e colloque MFI) où j'ai pu glaner quelques rumeurs, qui semblent bien informées, sur ce qui se prépare pour les prépas.

 

Tout d'abord le rappel d'une évidence : les programmes de la série S ont été modifiés dans des proportions considérables (voir un billet précédent), ce qui rend le programme de prépa infaisable par les élèves en l'état. Il fallait donc le modifier.

 

Nous parlons là de la rentrée 2012 pour les terminales, et 2013 pour les prépas. Or, la première chose qui est venue à mes oreilles est que les futurs programmes de prépas ne seront pas prêts avant décembre 2012 au plus tôt. Combien de temps les instances ministérielles (*) pensent-elles qu'il faut à un professeur pour préparer le cours de toute une année ? Et combien de temps faudra-t-il pour sortir des bouquins utiles aux élèves ? (**)

 

Parlons maintenant de ce qui fâche vraiment : il se dit qu'on ne fera plus la moindre géométrie en prépa. Fini le produit vectoriel, exit les surfaces, et adieu même aux simples tracés de courbes ! Quant à l'algèbre linéaire, elle serait introduite via les systèmes, de façon purement calculatoire (ce qui est assez logique somme toute puisque les étudiants seront désormais étrangers à l'aspect géométrique).

 

Bien entendu les probabilités prendront la place vacante.

 

Le temps me manque pour exprimer tout le mal que je pense de cette réforme. Je compte y revenir, et publier, pourquoi pas, un contre-programme. Pour l'instant je me contenterai de vous indiquer un texte de Daniel Perrin, qui correspond plus ou moins à son intervention lors du colloque. Il y parle de la destruction de la géométrie au Lycée, mais le titre va bientôt être transposable à l'enseignement supérieur.

 

(*) Il semble qu'il s'agisse de la direction générale de l'enseignement supérieur, mais je n'ai aucune idée de la composition de la commission chargée des programmes.

 

(**) À ce propos, les livres de maths de terminale pour la rentrée prochaine viennent seulement d'être envoyés aux professeurs, et ne sont pas encore disponible en librairie pour les élèves.

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