Principe anthropique et multivers

Mardi 13 décembre 2005 2 13 /12 /2005 10:53

Principe anthropique et multivers

Il y a en ce moment même un article à la fois très intéressant et très déprimant sur le blog de Peter Woit. Apparemment de plus en plus de physiciens, y compris des prix Nobel sont séduits par le "principe anthropique". Peter Woit explique fort bien dans son article pourquoi le principe anthropique n'est pas scientifique. A ce sujet il faut aussi lire cet article de Lee Smolin.

Il se trouve que les promoteurs du principe anthropique sont également des promoteurs de l'existence d'univers parallèles, comme Max Tegmark (voir ici), et Nick Bostrom (voir ici, ici et ici). Concernant Tegmark, je dois dire que j'ai été initialement très séduit par son idée que la seule définition sensée de "la réalité" est celle de la non-contradiction logique. Cela s'accordait bien avec mon idée que les objets mathématiques sont réels. Cette idée, le platonisme, est partagée par de nombreux mathématiciens et a été défendue avec éloquence par Alain Connes dans le livre d'entretiens avec J.P. Changeux "Matière à pensée". Alain Connes utilise une métaphore que je trouve très éloquente : un mur est réel parce qu'on ne peut pas le traverser à loisir : on s'y heurte, et de même on se heurte à la réalité mathématique. En d'autres termes, la réalité est ce qui nous contraint. Si l'on admet ce critère, en plus de la non-contradiction logique, on comprend que les univers parallèles n'ont pas de réalité puisqu'il peut s'y dérouler n'importe quoi sans que cela n'ait la moindre conséquence. Au contraire, dans l'univers des mathématiques, il y a une réalité qui s'impose à nous. Le monde (je veux dire le notre) serait bien différent si le groupe des rotations de R^3 était simplement connexe, ou plus prosaïquement si 2 était égal à 0. En revanche le fait que l'hypothèse du continu soit valide ou non ne semble pas avoir plus de conséquences pratiques que ce qui est censé se dérouler au sein des univers parallèles...

Cet article sur le blog de David Corfield traite également du réalisme mathématique.

Par Fabien Besnard - Publié dans : math-et-physique
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Commentaires

Bonjour,

>Concernant Tegmark, je dois dire que j'ai été initialement très séduit par son idée que la seule définition sensée de "la réalité" est celle de la non-contradiction logique<

Je ne vois pas trop le lien entre la réalité et la non-contradiction logique. Une théorie mathématique non contradictoire est-elle « réelle »? Si oui, dans ce cas, si on suppose ZFC non contradictoire, ZFC plus l'hypothèse du continu aussi bien que ZFC plus la négation de l'hypothèse du continu sont non contradictoires. Si ces deux théories sont "réelles", alors on a un problème : on permet à certains objets mathématiques d'exister dans la deuxième théorie alors qu'ils ne peuvent exister dans la première.

>Alain Connes utilise une métaphore que je trouve très éloquente : un mur est réel parce qu'on ne peut pas le traverser à loisir : on s'y heurte, et de même on se heurte à la réalité mathématique. En d'autres termes, la réalité est ce qui nous contraint<

Je trouve cette métaphore effectivement très pertinente. La réalité simpose à nous, on n y échappe pas. Cest en quelque sorte ce qui reste lorsquon nexiste plus. Elle me fait penser à : « La réalité, cest ce qui refuse de disparaître quand on a cessé d'y croire » (Philip K. Dick)
Mais le problème cest que je ne vois pas comment, à partir de ça, on peut justifier le réalisme platonicien.

Tu dis :
>dans l'univers des mathématiques, il y a une réalité qui s'impose à nous. Le monde (je veux dire le notre) serait bien différent si le groupe des rotations de R^3 était simplement connexe, ou plus prosaïquement si 2 était égal à 0. En revanche le fait que l'hypothèse du continu soit valide ou non ne semble pas avoir plus de conséquences pratiques que ce qui est censé se dérouler au sein des univers parallèles<

Là, je suis en total désaccord. Aucune réalité mathématique ne simpose à nous. Les mathématiques nexistent pas au même titre que le mur de béton auquel on risque de se heurter. Le fait que 2+2 = 4 nest pas une contrainte, puisquil ne sagit que dune formule mathématique dun cadre axiomatique donné, crée par lhomme (par exemple : ZFC, ou plus simplement Peano). Rien ne mempêche de travailler dans un autre cadre axiomatique dans lequel 2+2 nest pas 4 ou que 2, et 4 ne sont même pas définis.
Moins élémentairement, si je choisis de travailler uniquement dans larithmétique de Peano, alors je ne pourrai jamais démontrer que toute suite de Goodstein converge vers 0. Mais si je décide de travailler dans ZFC, alors jarriverai à démontrer ce résultat. Ceci suggère que la notion dentier naturel nest pas unique. Les entiers de Peano ne sont pas les entiers ZFC, et dans ce cas je ne vois pas comment on peut parler de « réalité » des mathématiques. A priori, il ny a quune et une seule réalité.
Dit autrement, dans les mathématiques je choisis la contrainte qui me sied (ZFC, Peano, ou autres) alors que dans la réalité, le mur, je ne le choisis pas ; si je me heurte à celui-ci, jai mal.

Si on imagine que R^3 nest pas simplement connexe, cela na aucune conséquence sur la réalité, à mon avis. En revanche, cela aura une conséquence sur la validité (cest à dire lefficacité de prédiction) de la plupart de nos théories physiques actuelles, et ceci nest pas la même chose.
Tu fais référence à lhypothèse du continu. Imagine que demain, un physicien théoricien sorte une théorie extrêmement efficace (avec des prédictions) dans laquelle il fait un usage essentiel de lhypothèse du continu. Dira-tu alors que les objets mathématiques de ZFC+HC sont réels ? et que ceux (dont lexistence implique non HC) de ZFC+non HC ne le sont pas ?
Mais si après-demain, un autre physicien théoricien sorte une théorie encore plus efficace avec des prédictions plus générales et plus précises, dans laquelle il fait un usage essentiel de la négation de lhypothèse du continu. Quen conclure, du point de vue platonicien ?

Commentaire n°1 posté par Cyril le 13/12/2005 à 21h47

D'abord il s'agit d'un débat philosophique difficile, qu'on ne saurait expédier en quelques lignes, et même en y passant beaucoup de temps il est probable que chacun reste sur ses positions. Néanmoins je voudrais fournir quelques arguments supplémentaires sur les points que tu évoques.
Il ne faut pas confondre la réalité mathématique et la méthode axiomatique qui est le moyen par lequel nous pouvons accéder à cette réalité. On peut faire une analogie avec la mécanique quantique où la description corpusculaire et ondulatoire sont deux façons complémentaires d'interpréter la théorie (même si aujourd'hui cette vision des choses est un peu dépassée). Un premier point de vue consisterait donc à estimer que des cadres axiomatiques différents peuvent coexister pour éclairer sous des jours différents une même réalité. Le problème de la contradiction éventuelle entre les résultats issus de différentes axiomatiques ne se pose pas vraiment, puisqu'on peut toujours fabriquer un modèle dans lequel un sous-modèle répondera à une axiomatique et un autre à une autre. Un autre point de vue (qui je crois était celui de Gödel) consiste à ne pas mettre sur le même plan toutes les axiomatiques. Il faut statuer sur l'axiome du choix par exemple, en décidant s'il est vrai ou non.

Par ailleurs tu sembles insinuer que finalement en mathématiques on n'est pas contraint par une réalité extérieure puisqu'on a le choix des axiomes. Ceci est à mon avis inexact : d'abord on ne peut pas faire n'importe quel choix d'axiomes puisque 99% de nos choix aboutiraient à des théories contradictoires. La non-contradiction logique est déjà une contrainte forte : par exemple tu dis que rien ne nous empêche de travailler dans un cadre où 2+2 est différent de 4 : au contraire, l'équation 2+2=4 est vraie dans tous les cadres où elle a un sens, même si 4=0. Ensuite, il ne s'agit pas de se demander dans quelle axiomatique on travaille, mais dans quelle "région" du monde mathématique on se trouve, il ne s'agit pas d'un choix mais d'un questionnement. Par exemple, les géomètres du XIXe siècles qui ont contribué à l'élaboration des géométries non-euclidiennes se sont tous posés la question de savoir si l'univers physique répondait à une telle géométrie.
Concernant le rapport avec la physique : certains physiciens ont une vision purement utilitaire des mathématiques. C'était par exemple le cas d'Einstein avant qu'il ne s'attaque au problème de la relativité générale. Puis il a changé d'avis, en admettant le caractère "génératif" des mathématiques.
Enfin, et j'en arrive au "fond" de ma pensée, l'idée qu'on se fait de la réalité physique lorsqu'on lui confère un caractère différent de la réalité mathématique, m'apparaît comme très semblable au vitalisme, cette idée qui a plus ou moins disparu avec l'essor de la biochimie, qui voulait que les substances produites par les organismes vivants soient de nature différente des substances de synthèse. Je suis convaincu que les progrès de la physique joueront le même tour à "la réalité du mur". D'ailleurs si on veut bien réfléchir aux raisons pour lesquelles on ne peut pas passer à travers on finit assez vite par "buter" sur quelque chose qui est déjà bien différent d'un mur (à savoir le champ électromagnétique, puisque c'est lui le responsable de la force de répulsion que le mur m'oppose) et plus très éloigné d'un objet purement mathématique. Bien sûr on m'objectera que je confond modèle mathématique et réalité physique, mais l'existence de cette réalité physique dont on parle toujours, me paraît aussi illusoire que celle de l'âme, et le discours à son propos me semble surtout inspiré par la force de nos habitudes et la difficulté à se dégager de nos perceptions immédiates, adaptées uniquement à notre environnement quotidien.

Commentaire n°2 posté par Fabien Besnard le 14/12/2005 à 15h12

Je ne t'ai pas répondu sur l'hypothèse du continu. Je doute qu'un jour un physicien se serve de cette hypothèse ou de l'une de ses négations. Si un jour ce que tu dis arrive je te répondrai :-) En attendant, que puis-je dire sur le caractère réel ou non de ZFC+HC par rapport à ZFC+non-HC ? Rien, j'en ai peur. Il y a quelques temps je t'aurais répondu que les deux étaient réels et correspondaient à deux régions différentes (mais avec une intersection non-vide qui correspond aux résultats qui ne dépendent pas de HC) du monde mathématique. Aujourd'hui je m'interroge : si vraiment cette hypothèse n'a aucune conséquence sur la physique, ie dans l'hypothèse où le monde physique est une structure mathématique particulière qui se trouve dans l'intersection de ZFC+HC et ZFC+nonHC, alors j'aurais tendance à dire que HC n'a pas de réalité. Mais ma religion n'est pas faite à ce sujet, car la définition "réalité=non-contradiction" qui a l'avantage d'être effective, plaide en sens contraire...

Commentaire n°3 posté par Fabien Besnard le 14/12/2005 à 15h34

>D'abord il s'agit d'un débat philosophique difficile, qu'on ne saurait expédier en quelques lignes, et même en y passant beaucoup de temps il est probable que chacun reste sur ses positions. Néanmoins je voudrais fournir quelques arguments supplémentaires sur les points que tu évoques.<

Tout à fait daccord, je voudrais faire de même ;)

Concernant les différentes axiomatiques et la notion de (pseudo-)contrainte associée, Le principal point que je voulais souligner est le suivant : chaque axiomatique produira ses propres objets mathématiques. Comme je lai dit précédemment, les entiers de Peano ne sont pas les entiers de ZFC. Ou encore : les ensembles de ZF +AC ne sont pas ceux de ZF + non AC. Autrement dit, si on tient absolument à parler de « réalité mathématique » il faudra considérer comme réel tout objet produit dune axiomatique quelconque (espérée ou admise non contradictoire). Comment en effet considérer que ZF + AC est « plus vraie » que ZF + non AC ?
Une fois cela admis [et je passe sur le point de vue qui consiste à ne pas mettre au même niveau les différentes axiomatiques (non contradictoires), dune part parce que tu na pas lair de partager ce point de vue, et dautre part parce que je ne vois pas comment on pourrait statuer sur la vérité de AC autrement que par un procédé relevant de la foi] jinsiste sur le fait quil y a une différence fondamentale entre cette « réalité » mathématique et la réalité [je nemploie pas le terme réalité physique parce que cest un pléonasme et parce que je ne tiens pas à participer à ce discours que tu associes au vitalisme Non, je garde la même définition pour la réalité, sur laquelle on sest accordé : Connes, Dick, etc].
La différence saute au yeux : où est la contrainte dans le cadre des mathématiques (toutes axiomatiques comprises) ? Je nen vois pas. Tel mathématicien travaillera dans ZFC, tel autre dans NBG, tel autre dans MK. Chacun dira quil est soumis à des contraintes et le platonicien dira quils « explorent » chacun un domaine du royaume de la réalité mathématique. Mais a priori rien nempêche chacun de ces mathématiciens de changer daxiomatique, autrement dit de changer de contraintes, et de faire des mathématiques dans un cadre axiomatique quil inventera. Ils peuvent le faire facilement (ajouter quelque symboles de constante, de fonction ou de relation par ci par là, et des axiomes pas trop forts pour avoir une équiconsistance avec ZF disons). On peut même aller plus loin : il peuvent faire comme Brouwer et les intuitionnistes et ne plus accepter les contraintes de certaines règles de déduction, il peuvent même, pourquoi pas, en inventer dautres De plus, la non-contradiction nest pas une contrainte qui simpose au mathématicien de façon indépendante de lui, cest plutôt une contrainte que simpose le mathématicien à lui-même dans son choix dun cadre axiomatique. Pourquoi fait-il ce choix ? Simplement parce quune théorie contradictoire est trivialement inintéressante : tout y est démontrable.

Bref : un mathématicien dispose dune grande marge de liberté dans son activité de « découverte de la réalité mathématique ». Tellement grande que je ne vois pas comment il peut être contraint par quelque chose qui ne dépend pas de lui ou quil na pas de son plein gré, accepté de sy soumettre. Un physicien expérimentateur, lui est au contact, par définition, de quelque chose qui ne dépend pas de lui : la réalité. Il accède à celle-ci (une partie de celle-ci, et probablement déformée) par ses yeux et ses sens en observant et en expérimentant. Le fait qu une activité artistique comme les mathématiques lui soit dune utilité certaine pour arriver à prédire ce quil perçoit de la réalité, est simplement une caractéristique dune partie des mathématiques (ou de la réalité selon le point de vue). Cette caractéristique est précisément ce qui rend unique (ou miraculeuse diront certains) les mathématiques, mais ce nest pas dans la définition de celle-ci et philosophiquement ce nest pas une raison pour confondre mathématiques et réalité.

>Je suis convaincu que les progrès de la physique joueront le même tour à "la réalité du mur". D'ailleurs si on veut bien réfléchir aux raisons pour lesquelles on ne peut pas passer à travers on finit assez vite par "buter" sur quelque chose qui est déjà bien différent d'un mur (à savoir le champ électromagnétique, puisque c'est lui le responsable de la force de répulsion que le mur m'oppose) et plus très éloigné d'un objet purement mathématique. Bien sûr on m'objectera que je confond modèle mathématique et réalité physique<

Cest là quon voit que le débat est loin dêtre clos... Effectivement, aux objections précédentes sajoute le corollaire, pour moi évident : un modèle mathématique ou une théorie physique, nest pas à confondre avec la réalité quelle tente de modéliser.
En effet, où sont les contraintes ? Il ny en a pas. Si je choisis telle ou telle théorie, cest parce que pragmatiquement elles marrangent : elles me permettent de prédire avec plus ou moins defficacité, ce que je vois et je perçois de la réalité. Cest un choix, pas une contrainte indépendante de ma volonté, car après tout, je pourrais très bien ne pas avoir dintérêt à prédire des expériences (certes, heureusement que les hommes ont un trouvé un intérêt à prédire des expériences ou des observations). Et « trouver un intérêt à » et « être contraint de subir » ne sont pas les mêmes choses. Dit autrement, la contrainte « être efficace dans la prédiction des observations/expériences, être applicable le plus souvent possible et (Occam) être le plus simple possible » nest pas une contrainte qui simpose à moi et que je dois subir, mais une contrainte que je choisis (un filtre, si on veut) afin de sélectionner que les théories qui me plaisent (parce que je trouve un intérêt à prédire les obs/exp, être applicable le plus souvent, etc).

Dans lexemple que tu donnes, ce qui est réel, cest que je me suis buté à quelque chose, qui est là devant moi, que je peux toucher, etc,et que jappelle mur par commodité. Cela, jai dû le subir. Tu peux après appeler le mur autrement, par exemple par le même nom quun concept dune théorie pertinente ici : champ électromagnétique. Mais tu utilisera alors un mot pour deux choses différentes : quelque chose de réel, et un concept mathématique. (Et je conviens que cest une chose que lon fait très souvent, sans en rendre compte, aussi par commodité pour la communication).
A partir de là, je ne vois absolument pas comment « un jour » les progrès de la physique puissent faire disparaître la réalité du mur. Ce qui peut se passer, cest quon change de théorie pour une théorie plus efficace dans la description de lévénement « je me suis fait mal », avec dautres objets mathématiques, et quon utilise alors le mot utilisé pour un objet mathématique de cette théorie pour décrire et désigner ce sur quoi je me suis buté (le mur, en langage courant).

Tout ceci étant dit, je comprend un peu pourquoi beaucoup de mathématiciens tiennent absolument à la réalité des objets mathématiques quils manipulent. Il y a peut-être une volonté de se considérer comme un explorateur, un découvreur, ce qui nest pas totalement dénué de sens, et peut-être quils voient le point de vue purement formaliste à la Hilbert (les mathématiques ne sont que des symboles sur des papiers, ordonnés par convention purement arbitraire) comme dévalorisant leur activité. Il y a aussi le fait que des théories physiques (et donc des outils et des concepts mathématiques sous-jacents) fonctionnent incroyablement bien Et de la réalité à la théorie physique puis aux mathématiques, il ny a quun pas (ou plutôt deux).
Personnellement, je préfère voir les mathématiques comme une activité assez unique, en tout cas radicalement différente des sciences de la nature. Je trouve que lactivité dun mathématicien pur a moins autant daffinité avec celle dun compositeur que celle dun physicien. Est-ce dévalorisant ? je ne pense pas

Bon, un tel débat ne sera jamais clos, mais il est intéressant... Désolé pour la longueur.

Commentaire n°4 posté par Cyril le 14/12/2005 à 20h18

Juste trois derniers commentaires. 1) concernant les entiers de Péano et ceux de ZFC. Je dirais au contraire que ce sont les mêmes, en raisonnant à isomorphisme près. Ce qui définit les entiers ce sont les relations qu'ils nouent, pas la construction d'un modèle particulier. 2) En disant que les mathématiques sont une activité assez unique, radicalement différente de la physique, tu te retrouves avec le problème de leur application à la physique et de leur "déraisonnable efficacité", comme disait Wigner. 3) concernant la "dévalorisation" : non je ne considère pas que le point de vue formaliste dévalorise l'activité mathématique à partir du moment où ce point de vue est seulement méthodologique : tous les mathématiciens sont formalistes quand ils vérifient pas à pas une démonstration. Mais de même, je crois que certains physiciens considèrent qu'assimiler la rechercher des lois fondamentale à la description d'une structure mathématique particulière serait dévaloriser leur activité. Mais pas du tout ! Même si je considère que la réalité est de nature mathématique au niveau le plus profond, l'intuition particulière du physicien n'en demeure pas moins infiniment plus adaptée à son "environnement" que celle du mathématicien. De même, personne je pense n'objectera que les processus biologiques se résument ultimement à des réactions physico-chimiques, et pour autant personne ne songerait à considérer les biologistes comme une espèce particulière de physiciens.

Commentaire n°5 posté par Fabien Besnard le 15/12/2005 à 10h14

1)Je ne vois pas comment tu peux parler disomorphisme ici. ZFC contient Peano, certes, donc à la limite tu peux dire, sans générer de contradiction, que tout entier de ZFC est un entier de Peano. Mais linverse est faux : tu ne peux pas rigoureusement dire que tout entier de Peano est un entier de ZFC, puisque ZFC nest pas une extension conservative de Peano. Autrement dit : il existe des formules mathématiques sur les entiers de Peano qui ne sont pas démontrables dans Peano, mais démontrables dans ZFC (pour les entiers de ZFC). Exemple : (G) toute suite de Goodstein converge vers 0.
Si tu dis que tout entier de Peano est un entier de ZFC, alors tu dis nécessairement que, dans Peano, les suites de Goodstein convergent vers 0. Ce qui contredit le résultat dindépendance de (G) vis à vis de Peano.
Problème.
En réalité, même si tu souhaites identifier divers objets mathématiques issus de diverses axiomatisations, il nen restera pas moins que toute contrainte à laquelle un mathématicien platonicien prétendra être soumis, ne sera en fait quune contrainte délibérément choisie par [et qui nest pas indépendant de] celui-ci. Idem pour le physicien théoricien à la recherche dune théorie.

2)Oui, effectivement. Mais comme déjà précisé, la « déraisonnable efficacité » des mathématiques dans les théories physiques humaines nest pas dans la définition des mathématiques. Cest une caractéristique, et cest justement cette caractéristique qui, à mes yeux, justifie son adjectif d « unique ». Il ny pas de problème logique, ici [et lunicité nest guère quune remarque en passant, car il nest pas difficile de considérer que toute activité humaine est unique en soi, en choisissant les bons critères].
De plus, Au niveau des théories physiques, la notion defficacité est toute relative, et si quelquun se juge totalement insatisfait de lefficacité des théories physiques actuelles, à tel point quil considèrera la réalité comme nayant rien à voir avec les mathématiques, qui sommes-nous pour lui dire quil se trompe ? Lefficacité nest pas un critère absolu, au final, cest ni plus ni moins quun critère que lon simpose à nous même pour sélectionner entre elles les diverses théories créées par les physiciens. Autrement dit : « être efficace » na pas de sens en soi, cest « cette théorie là est plus efficace que celle-ci » qui a un sens.

Commentaire n°6 posté par Cyril le 15/12/2005 à 17h58

ZFC et Péano : confusion de ma part, j'avais négligé l'importance du C. Cela ne fait que confirmer qu'il ne faut pas confondre la réalité mathématique et la méthode axiomatique qui permet de l'appréhender. Le filet de Péano ne permet pas d'attrapper le papillon des suites de Goodstein, tandis que celui de ZFC le peut. De toute façon on sait depuis Gödel qu'aucun filet axiomatique ne pourra jamais attraper tous les théorèmes vrais en arithmétique. Tu sembles affirmer que (G) est indépendant des axiomes de Péano : merci de me le confirmer pour ma culture générale. Ainsi il existerait des modèles de l'arithmétique de Péano dans lesquels une suite de Goodstein au moins ne tend pas vers 0 ?

Commentaire n°7 posté par Fabien Besnard le 15/12/2005 à 19h13

Ma dernière phrase est stupide, l'indépendance n'implique évidemment pas cela, et un tel modèle ne saurait évidemment exister !

Commentaire n°8 posté par Fabien Besnard le 15/12/2005 à 23h51

En fait l'axiome du choix ici est superflu, ZF (et probablement même des versions plus faibles) démontre (G).
(G) est indépendant de Peano (1982 - Kirby et Paris) et ceci constitue un exemple de formule inaccessible par l'arithmétique dont l'existence est assurée par le théorème d'incomplétude de Gödel.

Ta dernière phrase n'est pas stupide, au contraire :
si tu supposes que Peano est non contradictoire (espérons) alors tu as deux choses :
-il existe un modèle de Peano
-(G) est non démontrable par Peano.
Ce qui, par application du théorème de complétude implique qu' il existe un modèle de Peano qui ne satisfait pas (G). Autrement dit : il existe au moins un modèle de Peano dans lequel (non G) est vérifiée (et ceci n'est qu'une reformulation rigoureuse de : "les entiers de Peano ne sont pas les entiers de ZF")

Commentaire n°9 posté par Cyril le 16/12/2005 à 18h54

Très intéressant. Ces modèles ne sont pas dénombrables n'est-ce pas ?

Commentaire n°10 posté par Fabien Besnard le 16/12/2005 à 19h22

Non, ils ne sont pas tous non dénombrables : on peut en effet montrer le résultat surprenant suivant : non seulement de tels modèles existent mais on peut toujours en trouver qui sont dénombrables.
Ceci est une application du théorème de Löwenheim-Skolem (qui dit que si on a une théorie quelconque avec un modèle infini, alors pour tout cardinal k supérieur ou égal à aleph-0, il existe un modèle de cette théorie avec un cardinal égal à k).

Commentaire n°11 posté par Cyril le 16/12/2005 à 19h56

C'est terrifiant !
Dans une époque reculée où je m'étais intéressé à la logique il me semblait que le théorème de Lowenheim-Skolem ne disait pas exactement celà, ou plutôt s'appliquait uniquement aux théories du premier ordre. Si j'admets l'axiome de récurrence du second ordre "pour tout propriété P telle que etc..." je dois pouvoir démontrer que tous les modèles des entiers sont isomorphes et me débarasser de ces modèles pathologiques, non ?

Commentaire n°12 posté par Fabien Besnard le 18/12/2005 à 11h55

Il semble quen fait Löwenheim-Skolem désigne des choses différentes selon les auteurs et apparaît sous des versions différentes. Celle que jai donné nest probablement pas la plus générale, et ne sapplique effectivement quaux théories du premier ordre avec langage dénombrable (cest à dire en fait la quasi-totalité des théories « courantes »).
Peano et ZF sont des théories du premier ordre avec langage dénombrable. L« axiome » de récurrence nest pas nécessairement du deuxième ordre, car au premier ordre, cest juste un schéma, cest à dire regroupe une infinité (dénombrable) daxiomes. On montre dailleurs que Peano est une théorie du première ordre non finiment axiomatisable (et cest pareil avec ZF et son axiome (en fait un schéma) de remplacement).
[On peut enlever cet aspect non finiment axiomatisable en passant au deuxième ordre, mais je ne vois pas trop lintérêt, cest un peu se compliquer la vie. Il me semble (mais je connais pas les détails) que de façon générale, toute théorie du deuxième ordre peut se ramener à une théorie du premier ordre. En plus, pour ZF, il suffit de se placer dans NBG (version finale) qui est une extension conservative de ZF, du premier ordre et finiment axiomatisable. Dailleurs, ce serait bien si les mathématiciens oubliaient ZF et passaient à NBG...]
Bref, il nest pas possible de se débarrasser de tels modèles puisque (la version que jai donné de) Löwenheim-Skolem sapplique pour Peano.
Mais pourquoi ces modèles dénombrables de Peano + non(G) seraient à rejeter ? ;-)
Certes, ZF démontre (G), mais bon, ZF nest quune extension stricte de Peano parmi dautres, pourquoi celle-ci en particulier devrait nous forcer à considérer comme pathologiques de tels modèles ?

Commentaire n°13 posté par Cyril le 19/12/2005 à 02h31

Ce qui est génant avec ces modèles c'est qu'ils affirment l'existence de quelque chose qui ne peut pas être construit, un peu comme l'axiome du choix, mais en pire. En pire parce qu'on peut énumérer toutes les suites de Goodstein et les faire tourner : à chaque fois on tombera sur zéro au bout d'un nombre fini d'étapes (à moins que ZF soit contradictoire). ZF affirme que ce sera toujours le cas et en fournit la preuve, alors que tes modèles disent "non, il y a un cas où ça ne marche pas" mais on ne peut jamais tomber dessus !

Une autre raison est que les axiomes de ZF sont tellement naturels que j'ai spontanément tendance à considérer les théories différentes comme pas totalement sérieuses... En fait il n'y a qu'une seule alternative qui me paraisse sérieuse, c'est celle de supprimer toute référence à l'infini actuel. Evidemment, ceci n'est qu'une déformation de matheux. En fait je me suis intéressé à la logique et aux ensemble en terminale, et un peu encore en taupe, où je me souviens avoir débatu des "paradoxes" liés à l'axiome du choix avec mes collègues. Il se trouve que j'ai à peu près tout oublié, et j'ai fini par adopter l'attitude désinvolte de la plupart des mathématiciens à propos de la logique, qui est située quelque part entre "ça n'a aucune importance" et "bof, si ça les amuse...". Il se trouve que dans mon domaine, la physique mathématique, je suis confronté à une attitude très semblable des physiciens (quoi que pas de tous) par rapport aux maths. Bien sûr, chacun voit midi à sa porte. Cependant mes modestes réflexions sur la science me conduisent au contraire à l'idée de sa profonde unité. Je vois (ou plutôt je veux voir) derrière ça une réalité unique, ce qui fait que je conteste absolument cette idée de "choix de modèle" qui est la tienne. Le quotidien d'un scientifique est d'être confronté à une dure réalité (prend le au sens métaphorique si tu n'aimes pas l'idée d'une réalité mathématique) qui tranche sans pitié dans ses idées chéries, c'est tout le contraire d'un libre choix. Mon idée est que la nature profonde de toutes ces contraintes est la même, et c'est la non-contradiction logique au sein d'un système dont les axiome ne sont pas nécessairement tous explicités, ni même tous explicitables en un temps fini. Bien sûr ce n'est qu'une hypothèse, mais il y a au moins un rapport entre la réalité est la logique, c'est que ce qui est logiquement contradictoire ne peut pas être réel. L'implication dans l'autre sens n'est sûrement pas aussi claire, elle n'est même peut-être pas vraie. J'ai bien sûr un certain nombre d'arguments qui vont dans ce sens, j'en ai aussi qui me disent qu'au moins un autre critère de réalité doit suppléer celui de la non-contradiction. Le jour où mes arguments seront suffisament peaufinés je les publierai. En attendant il faut que je me repenche sur certains points de logique, je n'y couperai pas ! Je te remercie pour m'avoir rappelé à cette dure réalité.
Une dernière question : que conseillerais-tu comme bouquins sur ces questions de logique ? J'aimerais vérifier certains détails, car le diable y est caché :-)

Commentaire n°14 posté par Fabien Besnard le 20/12/2005 à 10h42

Même si globalement je conçois parfaitement à quel point les axiomes de ZF (ou apparentés) peuvent paraître naturels, j’ai toujours l’impression (mais là encore c’est forcément subjectif) que cette sensation est culturellement (au sens culture humaine dans son ensemble) déterminée : on peut imaginer la possibilité qu’une autre forme d’intelligence (extraterrestre disons) développe « naturellement » une toute autre construction mathématique et métamathématique, radicalement différente de celle de la civilisation humaine qui est, en gros, à base des notions d’ensemble, d’appartenance, d’entiers et de successeurs d’entiers et des axiomes classiques associés.

En même temps, je l’avoue, il m’est difficile d’imaginer qu’ils n’utilisent pas au moins ces notions là, mais ne serait-ce pas simplement parce que mon intelligence et mon imagination, en tant qu’humain, est limitée ?… Rien ne me permet d’affirmer que nos constructions mathématiques et métamathématiques (dont la logique mathématique) sont « naturellement » des produits en conséquence de toute intelligence. Affirmer cela revient presque à dire : tout ce qui est intelligent dans l’univers me ressemble.

La « dure réalité » ne se trouve, à mon avis, ni dans les modèles mathématiques, et encore moins dans les mathématiques elles-mêmes, mais bien dans la réalité au sens : ce qui est observé, « les faits expérimentaux ». C’est ça qui, à mes yeux, tranche et peut démolir les idées chéries des scientifiques, c’est ça qui ne constitue pas un libre choix.

Mais bon, éternel débat (comme toujours, pour les notions intuitives) sur ce que constitue « ce qui est observé » ou « les faits ». Intuitivement, je me rattache à cette idée de contrainte indépendante de nous et de nos activités purement mentales.

Au niveau des bouquins de logique, je préfère prévenir : je ne suis absolument pas un spécialiste du domaine (je ne suis qu’un étudiant en physique avec un intérêt pour les théories des ensembles…), donc les références que je vais donner sont probablement bien limitées ou archi-connues :

-Lascar et Cori : Logique mathématique (rigoureux et détaillé, tu connais déjà probablement).

-Bell et Machover : A course in mathematical logic (excellent, surtout la partie théorie des modèles. Il y a aussi un chapitre sur la logique intuitionniste et un autre sur l’analyse non-standard).

-Mendelson : Introduction to mathematical logic (celui que je préfère, surtout pour l’exposé de NBG et UR).

Après il y en a des milliers d’autres que je connais pas, généraux ou plus spécialisés dans la théorie des modèles ; j’ai surtout lu ces trois bouquins.

Bon courage pour les détails, surtout si tu te plonges dans la logique du deuxième ordre ;-)

En tout cas si tu trouves un résultat où on peut rendre isomorphe les modèles des entiers, quand on est au deuxième ordre, ce serait sympa de le signaler, pour ma culture générale. Je crois que le Mendelson parle aussi de la logique du deuxième ordre.

A propos de l’attitude « bof, ça n’a aucune importance » des mathématiciens vis à vis de la logique et des physiciens théoriciens vis-à vis des mathématiques, c’est vrai que c’est un peu dommage, surtout pour les physiciens.

Encore plus inquiétant à mes yeux est l’attitude de certains physiciens vis-à-vis de la notion de prédiction et de réfutabilité, il me semble que tu en avais parlé à propos de Thibaut Damour. J’ai l’impression que cette histoire de principe anthropique est un peu relié à cette distance que certains physiciens prennent avec la notion de prédiction de quelque chose d’observable. Je n’arrive d’ailleurs pas à comprendre comment le principe anthropique peut séduire autant de physiciens (et pas les moindres). Je butte toujours sur l’implication (entre autres) : Intelligence=>Chimie du carbone.

Commentaire n°15 posté par Cyril le 21/12/2005 à 01h41

Désolé pour le formatage du message précédent. Mauvaise manip apparemment

Commentaire n°16 posté par Cyril le 21/12/2005 à 01h44

Merci pour tes références. Concernant les ET : effectivement si des ET avaient développé des maths complètement différentes cela remettrait en cause mon point de vue. Vivement qu'ils viennent nous expliquer tout ça ! Encore que... Je crois que nous ne pourrions simplement pas communiquer avec des ET qui n'auraient pas la même logique que nous.

Commentaire n°17 posté par Fabien Besnard le 21/12/2005 à 12h37

Ma sensibilite n'est ni "constructiviste", ni "platonicienne", ni quoi que ce soit d'autre (bien que mon attitude soit tres clairement formaliste). La question relative a la "realite des mathematiques" me semble d'ailleurs mal posee et, peut-etre surtout, un chouilla trop emprunte de philosophiques souvent dispersive. J'espere avoir le temps et l'opportunite d'exprimer mon modeste point de vue (non-definitif, evidemment) lorsque tu publieras un autre post strictement connexe a celui-ci: sur le net, les posts (et a fortiori les commentaires) vieillissent mal. ;-) En attendant (?), un petit article de Mycielsky (-> Notices de l'AMS du mois de fevrier 2006) pas ininteressant:
A System of Axioms of Set Theory for the Rationalists"

Commentaire n°18 posté par max le 24/01/2006 à 07h14

Il fallait bien entendu lire 'philosophie' et non pas 'philosophiques'.

Commentaire n°19 posté par max le 24/01/2006 à 07h17

Bonjour Max, et merci pour le lien. Je l'ai parcouru et je dois dire que je trouve certains arguments un peu bizarres. Notamment celui du rasoir d'Ockham. Mycielski prétend que le platonisme suppose l'existence d'entités en grand nombres (tous les objets mathématiques) et ce sans nécessité. Je ne suis pas d'accord avec cette utilisation du rasoir : le platonisme (en tout cas le mien) repose en fait sur une seule hypothèse, simple et bien définie : tout ce qui est logiquement cohérent est réel. C'est en fait une définition de la réalité (dont je dis tout-de-suite qu'elle est peut-être un peu trop générale et doit être affinée, néanmoins dans les grandes lignes c'est ça). Le reste en découle. Il y a donc une seule hypothèse (qui n'en est même pas vraiment une, je dirais plutôt qu'il s'agit d'une élucidation de la notion de réalité), et le reste en découle. On ne suppose pas indépendamment l'existence d'une infinité d'objets... En revanche lui, suppose un paquet d'axiomes ! On pourrait retourner l'argument du rasoir... D'autant plus qu'apparemment il n'y a pas de preuve de consistance relative de son système avec ZFC. Par contre ce qu'il dit de "l'Hilbertisme" et de l'infini potentiel est très intéressant.

Commentaire n°20 posté par Fabien Besnard le 26/01/2006 à 19h07

Je ne suis encore qu'un humble étudiant en maths, mais les commentaires servent aussi à ceci : exprimer mon intérêt pour ces discussions sur cette question passionnante de la réalité des maths.

Tout ceci est très intéressant !

Commentaire n°21 posté par Sephi le 11/06/2006 à 14h07

Bien que n'étant pas spécialiste, et bien que la théorie des multivers me dérange au plus haut point, la métaphore du mur énoncée dans cette argumentation me semble totalement inadaptée. Les différents univers, qui soit dit en passant seraient "perpendiculaires" et non "parallèles" les uns par rapport aux autres (Cf.John R. Gribbin), ce créent à chaque effondrement de la fonction ondulatoire d'une particule. A chaque fois qu'il est demandé à la particule de se déterminer, se créent deux univers dans chacun desquels toutes les lois mathématiques, sans exception, restent applicables. Au final, il ne s'agit pas d'univers oniriques ou surréalistes se démarquant ainsi du nôtre qui serait, lui, le seul cohérent, mais d'univers tout aussi tangibles et cohérents que le nôtre. C'est justement à ce niveau que la métaphore du mur est applicable : trouvez-moi la faille dans ce mur que représente la théorie des multivers, théorie qui se tient au vu de nos connaissances scientifiques actuelles; trouvez-là, mais par une nouvelle théorie plus séduisante et tout aussi cohérente, et non pas par une métaphore fallacieuse.

Commentaire n°22 posté par Hervé GAUTHIER le 14/11/2009 à 06h43

Je ne suis pas sûr que vous puissiez dire que ces univers sont tangibles puisque vous ne pouvez pas les toucher (par aucun moyen). Quoi qu'il en soit, vous conviendrez sûrement que rien ne nous contraint à adopter l'interprétation multiverselle de la méca Q, dans ce sens, elle n'est pas "solide". Vous me direz qu'il en va de même de toutes les autres interprétations, et vous aurez raison : en ce sens, aucune n'est "solide". Que reste-t-il donc ? Le formalisme mathématique. De deux choses l'une : soit une théorie plus profonde viendra supplanter la méca Q et imposer une interprétation plutôt qu'une autre (la chose s'est déjà produite : la relativité a imposé d'admettre le champ comme objet physique et non comme pur artefact mathématique), soit non, auquel cas on se retrouvera avec une seule chose solide : une théorie physico-mathématique sans interprétation privilégiée, et alors, selon mon principe du mur, nous devrons admettre que la théorie elle-même est réelle, qu'elle n'est pas un modèle de la réalité, mais qu'elle est la réalité.

Commentaire n°23 posté par Fabien Besnard le 18/11/2009 à 10h42

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