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Qu'est-ce qu'une culture mathématique minimale ?

16 Septembre 2008, 18:10pm

Publié par Fabien Besnard

Il est difficile de définir ce qu'est une culture minimale, quel que soit le domaine considéré. Néanmoins, tentons l'expérience. Qu'est-il absolument indispensable de connaître pour avoir une idée de l'évolution, de l'architecture interne, et de l'influence externe des mathématiques, de façon à pouvoir replacer le tout au sein d'une culture générale raisonnablement consistante ?

Ces quelques choix, forcément arbitraires, sont principalement axés sur les problèmes laissés par les Grecs, et sur les bouleversements qui ont permis leur résolution et leur dépassement. L'inconvénient est bien sûr de laisser penser que les mathématiciens ont passé des siècles à réfléchir sur la duplication du cube ou le cinquième postulat d'Euclide, alors qu'en réalité ces sujets étaient presque marginaux. Mais la fidélité historique n'est pas le but recherché : il s'agit simplement de donner des références essentielles.

Voici donc ce qui m'est venu à l'esprit.

Nombres premiers : connaître une démonstration de leur infinité et de l'unicité de la décomposition en produit de facteurs premiers.

Connaître une démonstration de l'irrationalité de racine de 2.

Problèmes classique de duplication du cube, quadrature du cercle, et le principe, dans les grandes lignes de leurs résolutions.

Fondements de la géométrie euclidienne, tentatives de démonstration du 5e postulat, preuve de l'existence de géométries non-euclidiennes, avec au moins un exemple de modèle de la géométrie hyperbolique (par exemple le demi-plan de Poincaré). Notions de géométrie Riemannienne.

Notion d'équipotence d'ensembles infinis, argument diagonal de Cantor, X n'est pas équipotent à P(X).

Crise des fondements des mathématiques, axiome du choix. Théorèmes de Gödel.

Un minimum de théorie des groupes.

Un exemple de foncteur, par exemple le groupe fondamental.

Décomposition en série de Fourier, dans les grandes lignes.

Loi des grands nombres, théorème de la limite centrale.

Le théorème de Faltings, parce qu'il est sublimement beau, et parce que c'est un bel exemple de l'unité des mathématiques.

Merci à mes lecteur de critiquer/compléter ma liste !

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Arbiter-Elegantiarum 29/04/2009 16:28

Las, Messire, s'il suffisait d'être jeune pour avoir encore à apprendre. Réalisez-vous seulement que selon vos propres standard de culture minimale, ce sont les jeunes qui s'en tirent le mieux (comme c'est d'ailleurs le cas dans toute société avancée et saine) ? Que 60 ou 70% de ceux qui maîtrisent la liste doivent avoir moins de 25 ou 30 ans (et ne pèsent pas bien lourd démographiquement dans notre nation vieillissante) ?Quant à mon anecdote sur la petite Camille qui semble vous avoir plu, j'ai le plaisir de lui ajouter un épilogue récent. A la fin de ma terminale, partie avec un métèque au nom imprononçable que je vous épargnerai ici, elle est retombée sur moi, par le plus grand des zazards, deux ans plus tard. Nous eûmes des contacts assidus pendant une semaine qui n'allèrent pas jusqu'au coït et me firent prendre mes distances avec la cruelle qui se refusait à moi. Ma vengeance dut pour être parfaitement "consommée" attendre que je trouve l'occasion de me farcir sa petite soeur plus dégourdie (ce qui me prit la bagatelle d'un mois supplémentaire). je crois la petite Camille (plus si petite et florissante, déjà), repartie auprès auprès de son sri-lankais assouvir son besoin d'apporter concrètement une aide en nature aux ressortissants du tiers-monde.Cette avidité avec laquelle nos virginales lycéennes traquent nègres et bengladeshi dans le but de leur donner leur cul m'apparaît comme un "complexe Benetton" et une déviance sévère de l'instinct maternel. Allonger la phase d'adolescence est un des signes auxquels on reconnaît les sociétés développées, mais il faut toujours que ça clashe avec l'instinct. On traite nos hommes en gamins jusqu'à 25 ans, sauf qu'à 13 ils surfent sur xnxx.com pour voir des simulacres de tournantes sur "M.I.L.F" mal filmés, façon gonzo. On fronce le sourcil devant ces mères de 22 ans, mais on les encourage à 15, à libérer leurs instincts maternels et leur goût du pathos refoulés sur les petits défavorisés de leur classes, étrangers, infirmes, défavorisés, battus ou simples dégénérés congénitaux. Vous êtes-vous déjà fait cette observation ? La poussée d'Archimède de la maturité écrasée ...

Arbiter-Elegantiarum 28/04/2009 20:07

Et bien ... Moi qui serais bien en peine d'atteindre aux 2/3 ou à la moitié peut-être des objectifs proposés, je dois être foutrement à la ramasse ^^Et dire que c'est moi qui fais office de geeks au cours des petites soirées entre incultes que j'honore de ma présence !Voilà que je vois mon reflet (troublé par les aléas de mon existence dérisoire de rustre trivial) s'obscurcir encore dans ma psyché poussiéreuse. Mon coeur déjà exsangue rend, à la douloureuse lecture de ce billet, ses dernières gouttes d'écarlate et ...Mais il suffit ! Je sens que mon vain apitoiement incommode l'aristarque et l'auguste aréopage qu'il a si patiemment rassemblé en cette Thélème nouvelle, et je me retire avant que mon inculture crasse ne souille à jamais les dalles veinées du temple de ce Savoir que je me sais interdit, à présent.Au plaisir Messieurs.L'humble profane qui n'a rien entravé au succédané de cours sur le groupe fondamental que dans sa bonne volonté il tâchait pourtant de lire.

Fabien Besnard 29/04/2009 14:31


Allez, allez, vous êtes encore bien jeune il me semble. Il serait triste que vous n'ayez plus rien à apprendre. Et puis, du moment que vous parvenez à impressionner la petite Camille...


max 22/09/2008 20:40

Bordel! C'est vrai, les coniques! Beau sujet qui permet entre autres de passer de l'affine au projectif - et de présenter cette merveille qu'est le monde projectif - , et vice et versa réciproquement. Quant aux équations différentielles, elles étaient implicites à la géométrie riemannienne (cf. p.e. "équation géodésique"). ;-)Des reproches? Bof. Un, peut-être, qui se retrouve d'ailleurs en filigrane (si peu) dans les remarques des autres intervenants: ta définition de "culture mathématique minimale" (par listage) est sans doute un chouilla trop exigeante. A discuter, bien sûr. C'est probablement de celà que tu parleras dans un prochain billet. Alors a+.

Fabien 22/09/2008 12:57

Je vous remercie tous pour vos remarques. Je m'attendais davantage à ce qu'on me dise tout ce que j'ai oublié (à commencer par les coniques et les équations différentielles, des oublis difficilement excusables) plutôt que l'on me reproche de citer les problèmes de constructions à la règle et au compas ou le groupe fondamental. Néanmoins, je comprends les objections qui me sont faites. J'y répondrai plus précisément dans un prochain billet. 

Laure 21/09/2008 18:01

Vous faites fort avec votre liste ! Moi j'aurais rajouté le grand
théorème de Fermat, et j'aurais évité Faltings (dont j'apprends
l'existence grâce à vous) !