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Qu'est-ce qu'une culture mathématique minimale ? (2)

27 Septembre 2008, 17:03pm

Publié par Fabien Besnard

Dans mon précédent billet, j'ai commis deux erreurs : celle de ne pas expliciter ce que j'entendais par "culture mathématique" et celle de ne pas parler du niveau d'expertise technique que j'imagine nécessaire pour chacune des notions que j'ai évoquées. J'espère dissiper les éventuels malentendus en réparant ces erreurs aujourd'hui.

Premièrement qu'est-ce qu'une culture mathématique ? Je n'entends pas du tout l'expression "culture mathématique" dans le sens où Benjamin l'a compris, à savoir un corpus de connaissances et de techniques utile dans l'exercice de telle ou telle profession, comme lorsqu'on parle de culture mathématique pour l'ingénieur, mais je l'entends exactement dans le sens de "culture musicale" ou "culture littéraire". Or il est clair que la connaissance de l'alphabet et des règles les plus courantes de l'orthographe et de la grammaire ne constitue qu'un préalable à l'acquisition d'une culture littéraire, et ne saurait être considérée comme faisant partie de celle-ci. C'est pourquoi je ne considère pas, comme Jéro, que la définition d'un nombre irrationnel (programme de seconde, anciennement programme de collège) fasse partie de la culture mathématique, mais que j'estime qu'il s'agit d'une partie de la "mathematical literacy", expression que non seulement j'ai beaucoup de mal à traduire, mais qui de plus n'est pas absolument adéquate. Pour donner une idée de ce que j'estime être du ressort de la "mathematical literacy", je dirais que ça recouvre à peu près le programme actuel de Terminale S. On pourra trouver choquant que je considère l'ignorance du calcul intégral ou des logarithmes comme un équivalent mathématique de l'illettrisme. Ce serait en effet très exagéré : je dirais plutôt qu'il s'agit de l'équivalent d'une ignorance complète du passé simple. Je sais que, lisant cela, d'aucuns trouveront que je suis décidément un incorrigible élitiste, qualificatif que je ne récuse d'ailleurs pas en certaines circonstances, mais qui serait ici entièrement infondé, car je ne me félicite pas le moins du monde que la majeure partie de la population soit pratiquement illettrée sur le plan mathématique. Il me semble cependant que c'est un fait. Je ne considère pas non plus que ce problème soit inéluctable, car un système d'instruction publique un tant soit peu ambitieux devrait arriver le corriger. D'autres enfin trouveront exagéré l'écart académique entre le niveau de prérequis que je suppose afin d'accéder à la culture mathématique et que je situe grosso modo en fin de terminale scientifique et celui que l'on peut imaginer suffisant pour acquérir un début de culture littéraire et qu'on pourrait peut-être situer en fin de 5e. J'opposerais trois arguments à cette objection. Le premier est qu'on présume un peu trop de ce que l'école est capable de faire avec si peu de moyens (je veux dire avec si peu d'heures passées explicitement à l'apprentissage de l'orthographe, de la grammaire, et de l'expression écrite) en matière de maîtrise du langage écrit (c'est d'ailleurs un obstacle majeur à la compréhension des concepts mathématiques), le deuxième est que les mathématiques sont intrinsèquement plus difficiles (pourquoi se le cacher ?) car moins naturelles que le langage, le troisième est que c'est une question relative au contexte scientifique et technique de l'époque : après tout, les mathématiques n'ont fait leur apparition qu'à la fin du XIXe siècle dans l'enseignement secondaire, et leur place n'a fait que croître depuis, jusqu'à une période récente. Il serait assez dans l'idée que je me fais du progrès que le programme actuel de terminale S ne soit plus que d'un niveau seconde d'ici quelques générations (cela ne fera sourire que ceux qui oublient le chemin qui a déjà été parcouru depuis un siècle).

J'en viens au second point : à savoir l'expertise technique. Je vois dans la difficulté à séparer pour les mathématiques ce qui relève de la culture et de la technique, alors qu'on a aucun mal à distinguer la possession d'une culture musicale et la capacité à jouer d'un instrument, un effet du fameux clivage entre "les deux cultures", dont il a été question ici et ailleurs. En effet, pour beaucoup de gens, il n'y a QUE de la technique dans les mathématiques, et peut-être dans les sciences en général, et celles-ci n'ont rien à faire avec la culture. C'est précisément ce contre quoi je me bats. Il me semble que certains théorèmes, et certaines preuves, sont de tels exemples de ce que l'esprit humain peut faire de grand et de beau que les ignorer reviendrait à vivre dans un monde amputé du requiem de Mozart et  du duomo de Brunelleschi, pour prendre deux exemples qui me sont chers. Les quelques démonstrations que j'ai citées me semblent en faire partie, et sont accessibles dès que l'on a un minimum de "mathematical literacy". D'autres nécessitent plus de connaissances techniques, mais sont aisément vulgarisables : les problèmes de constructibilité à la règle et au compas par exemple. Les magazines scientifiques s'attellent d'ailleurs souvent à cette tâche, on trouvera un exemple récent (malheureusement assez peu réussi) dans le dernier numéro des "Génies de la science" consacré à Gauss. Je ne me souviens pas avoir lu d'articles sur le groupe fondamental, puisque cet exemple en a fait tiquer plus d'un, mais ça me paraît être du niveau de ce que l'on trouve habituellement dans Pour la Science. En tout cas je prends ça comme un défi ! Enfin, malgré l'expertise technique incontestablement requise pour la compréhension fine de certains sujets, comme le théorème de Gödel ou la théorie des groupes, leur retentissement sur le reste de la culture ou des sciences, ou sur les mathématiques elles-mêmes, est tel qu'ils ne peuvent tout simplement pas être omis. Il incombe aux mathématiciens de sacrifier une partie de leur temps pour expliquer, du mieux qu'ils le peuvent, ces sujets au public. Ils ne le font pas toujours, pour différentes raisons. Alain Connes le fait, j'en ai déjà parlé ici, et Jean Dieudonné l'a fait aussi, et je finirai sur cet exemple qui illustre parfaitement mon propos. On se souviendra que son livre "Pour l'honneur de l'esprit humain" avait fait un grand succès de librairie suite au brillant passage de son auteur dans l'émission de Bernard Pivot. Je connais personnellement plusieurs personnes qui l'ont acheté, et toutes se sont arrêtés à la page 31 : on y rencontre l'équation des cordes vibrantes. Quand j'ai lu ce livre pour la première fois je devais être en seconde. Je n'ai pas tout compris, mais je ne me suis pas arrêté à la page 31. Je l'ai relu par la suite, et même si je n'en ai pas pris conscience sur le moment, ce livre fut certainement pour beaucoup dans ma décision ultérieure de poursuivre des études de mathématiques, et non de physique comme je l'avais précédemment envisagé. Tout simplement parce qu'il m'a montré que les mathématiques n'était pas qu'un outil au service des autres sciences ou un ensemble de techniques astucieuses, mais une partie intégrante de la culture et l'une des oeuvres les plus grandioses de l'humanité.

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lieben 05/03/2009 05:31

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MathOMan 19/10/2008 17:51

> Je crois comprendre que vous voulez dire qu'en fait, le> niveau moyen est tellement catastrophique que ma liste> est risible.Oui, c'est ça que je voulais dire. C'est vrai que je parlais plutôt des bases que de culture...  Mais c'est parce que, comme vous l'avez deviné, je suis vraiment desespéré concernant le niveau.J'avais déjà lu votre billet "Baisse de niveau" il y a quelques jours et je m'y référerais dans mon deuxième billet sur le sujet que je vais rédiger dans les semaines à venir.

Fabien Besnard 19/10/2008 17:39

Merci pour ce commentaire math-o-man, mais une fois encore, on se heurte à la compréhension différente du mot "culture" suivant les lecteurs. Vous me dites que la culture mathématique c'est le minimum pour se débrouiller dans la vie de tous les jours (franchement, c'est très peu : on peut retirer presque toute votre liste). Si je disais que la culture musicale c'est le minimum pour se débrouiller dans la vie de tous les jours, ça se réduirait à zéro... Dans les domaines non scientifiques, une vision utilitariste de la culture semblerait ridicule, alors pourquoi adopter cette vision pour les sciences et en particulier pour les maths ?Je crois comprendre que vous voulez dire qu'en fait, le niveau moyen est tellement catastrophique que ma liste est risible. Mais je n'ai jamais dit que ma liste devait être le prochain programme de maths de Terminale ! On ne se cultive pas qu'à l'école, on se cultive surtout par soi-même (encore faut-il avoir les bases, et là l'école joue un grand rôle), et si on se cultive dans un domaine, c'est parce qu'on le trouve intéressant, beau, profond, pas parce qu'on le trouve utile. Néanmoins je partage complétement votre constat, qui m'attriste également. J'ai lu votre article sur "une génération dyslexique en maths" et je peux confirmer entièrement ce que vous dites. J'ai mis un lien dans mon billethttp://math-et-physique.over-blog.com/categorie-286998.htmlqui traite également de ce sujet.

MathOMan 19/10/2008 12:36

Merci pour votre liste très intéressante !  Mais elle est très inhomogène, car certains sujets sont très basiques et d'autres pas du tout, comme la découvrte de mon compatriote Gerd Faltings...Pour moi culture mathématique minimale signifie ce qu'un non-mathémticien doit savoir pour se débrouiller dans la vie.Et ayant enseigné l'année dernière en deux classes de terminale ES en région parisienne, je dois dire que la culture mathématique minimale que vous proposez est beaucoup trop ambitieux par rapport au niveau de ces élèves. Malheureusement seulement une minorité entre eux savent résoudre une équation de premier degré ou additionner deux fractions.  Je ne sais pas ce qui s'est passé au collège, mais aujourd'hui ils sont en terminale et ont beaucoup de mal à simplifier une fraction ou à trouver le dénominateur commun le plus petit de deux fractions.Pour moi la culture minimale mathématique 2009 serait:> Mettre en équation un énoncé simple (par exemple la "règle de trois").> Résoudre une équation de premier degré avec une inconnue.> Maitriser le calcul de fractions.> Diviser, par calcul mental, un nombre par 2, 4, 10 ou 5.> Décomposition en facteurs premiers, PGCD et PPCM.> Condition nécessaire, condition suffisante.> Augmenter une quantité par 20% revient à la multiplier par 1,2 et la diminuer de 40% à la multiplier par 0,6.Bizarrement, le dernier point nécessite aujourd'hui plusieurs semaines dans le programme de première et de terminale et porte même un nom savant (coefficient multiplicateur). Or ça devrait être une évidence si les bases de calcul étaient comprises au collège... J'en ai déjà écrit un post sur mon blog et j'en ferai bientôt un deuxième.