Leçon d'introduction, septembre 2009

Mercredi 9 septembre 2009 3 09 /09 /2009 09:47

Leçon d'introduction, septembre 2009

Comme l'année dernière, je vous propose la lecture de la leçon d'introduction de mon cours d'algèbre à l'EPF. Cette année le fil rouge est "formalisme vs platonisme".

Vous pouvez toujours télécharger la leçon de 2008, qui a été légérement mise à jour (quelques coquilles supprimées, une figure ajoutée).

Bonne lecture !

remarque : il y a quelques renvois à la suite de mon cours, mais ça ne devrait pas être très génant.

Par Fabien Besnard - Publié dans : math-et-physique
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Commentaires

Introduction vraiment très intéressante, comme tout ce que j'ai lu de vous ! L'histoire rapide des nombres complexes et les différentes manières de les aborder (exceptée comme quotient de l'anneau des polynômes, ce qui est compréhensible... il ne faut pas effrayer !), l'inexistence des trinions et l'idée des quaternions est vraiment agréable à lire.

Resterais juste à mentionner la position centrale entre platonisme et formalisme... des mathématiques existent, mais certaines ont été inventées... Mais tout cela n'est qu'un débat inutile à raviver.

Bonne continuation.

Commentaire n°1 posté par Tukikun le 17/09/2009 à 17h36

Concernant les différentes nuances du platonisme, cela m'aurait entraîné bien trop loin pour cette introduction !

En tout cas, merci pour votre commentaire, ça me fait très plaisir.

Commentaire n°2 posté par Fabien Besnard le 18/09/2009 à 22h45

Merci pour le lien.

Commentaire n°3 posté par rofe45 le 27/09/2009 à 10h35

Bonjour Monsieur,

J’ai beaucoup aimé vos articles sur les Quaternions et les Nombres complexes. Je dirais que je les trouve hautement digestes, par rapport à ce que l’on peut trouver sur ces mêmes sujets :-)

J’aimerais toutefois vous poser une question toute naïve.

A propos des nombres complexes, vous écrivez :

« Montrer que toute équation de degré aX3 + bX2 + cX + d = 0 peut se ramener à une équation du type (x3+px+q=0) en posant X = x + alpha pour alpha bien choisi ».

Voyez-vous ce dernier point me gêne. Il me gêne car il donne l’impression, soit que le mathématicien à trouvé cela en tâtonnant, soit qu’il en a eu la révélation. Je sais que vous n’aviez pas le temps d’expliciter. Mais c’est que dans tout ce que j’ai pu lire sur le même sujet, partout on passe sur la genèse de cette petite trouvaille.

Pouvez-vous me dire succinctement ce qui a bien pu se passer dans la tête de Cardan pour en arriver à trouver cette simple astuce ?

Je vous avais prévenu, c'est une question toute naïve d'un bleu en mathématiques.

Bien à vous.

Rudy

Commentaire n°4 posté par Rudy le 27/10/2009 à 01h09

Je vous remercie de ce que vous dites, mais je suis désolé de ne pas pouvoir vous éclairer davantage, n'étant pas spécialiste d'histoire des maths. Du reste, je doute que Cardan ait expliqué ce qui l'avait conduit à cette méthode. Expliquer ses propres tatonnements est quelque chose qu'on voit rarement chez les mathématiciens actuels, et c'étaient pire à l'époque. D'ailleurs Cardan aurait "omis" de signaler qu'il devait sa méthode à Tartaglia.

Un élément de réponse peut-être : il est clair qu'on peut faire disparaître le terme en x^2 par translation de l'inconnue, puisqu'il suffit de soustraire la moyenne des racines à chacune d'entre elle pour se ramener à une équation dont la somme des racines (donnée par "-b/a") est nulle. Dès lors, il est certainement naturel d'opérer cette simplification.

Commentaire n°5 posté par Fabien Besnard le 29/10/2009 à 21h40

Votre point de vue essentialiste ne correspond pas à votre argumentaire. Vous défendez l'idée que les mathématiques (classiques) ont un lien fort avec la réalité, en l'opposant au fait que les versions «formalistes» (je suppose que vous entendiez constructivistes) se résument à de la syntaxe en oubliant le sens des symboles manipulés.
Les maths classiques (avec tiers-exclu) sont idéalistes: tout est ou bien vrai ou bien faux. Pour le lien avec la réalité, c'est rapé ! Prenons l'exemple du théorème des bornes en analyse, qui indique qu'une fonction à valeurs réelles, continue sur un intervalle est bornée et atteint ses bornes. C'est le cas, dans l'absolu, idéalement donc. En effet, cette connaissance n'implique nullement la connaissance ni de ce maximum ni de ce minimum. En particulier, la démonstration n'étant pas constructive, elle fait appel au tiers-exclu qui est la traduction mathématique de la position philosophique que vous défendez, l'essentialisme.
Si vous voulez du sens, voyez les versions constructives des mathématiques, qui non seulement d'être plus réalistes et pragmatiques que les maths classiques, sont très riches en sens. En effet, la sémantique usuelle des maths classiques à base de vrai et de faux (Tarski) est très pauvre comparée à, par exemple, l'interprétation fonctionnelle des démonstrations (cf. théorie des types de Martin-Löf).
C'est à mon avis cela qui perd les étudiants et leur font oublier (de force) le sens des symboles qu'ils manipulent. Je crois qu'il est tout à fait regrettable d'insister sur ce point d'entrée de jeu...

Vous faites de plus une confusion entre prolifique et réalité. Ce n'est pas parce que l'introduction d'un nouveau concept (les nombres complexes) permet de nombreux développements que ce concept ne peut être une création de notre pensée ! Ce serait d'ailleurs plutôt le contraire puisque les mathématiques comme vous le faites remarquer ne s'appliquent pas dans une situation, mais dans de multiples cas. En d'autres termes, il s'agit de données génériques que l'on manipule, des abstractions, des créations de l'esprit ! Que cela soit applicable concrétement n'est pas contradictoire. Cela signifie simplement que les méthodes scientifiques que nous utilisons pour manipuler ces abstractions sont en cohérence avec la réalité. En résumé, nous raisonnons.
Par exemple, on peut éviter de dire «les trinions n'existent pas», mais plutôt remarquer que «la construction que nous appellons trinions ne permet pas de raisonnement cohérent».

Je regrette notamment ce que vous remarquez à juste titre; les mathématiciens ne partagent pas leurs méthodes de recherche. C'est regrettable car cela pourrait bien amener à une meilleure compréhension de nos processus de pensée, et serait probablement bien plus pédagogique. Un peu d'introspection partagée ne peut pas faire de mal !

Il y a encore tant de choses à dire sur votre texte... Hélas il représente bien l'idée majoritaire chez les mathématiciens (classiques) actuels, et leur résistance à la discussion de certains fondements. Espérons que les prochaines générations soient plus ouvertes.

Commentaire n°6 posté par Vincent le 19/11/2009 à 15h36

Avant tout, il ne s'agit pas de faire de mon texte un essai philosophique : c'est une leçon d'introduction à un cours d'algèbre de niveau bac+1. Il me semble bien que je le dis d'emblée : je suis complétement partial et j'assume. Le but est de transmettre deux ou trois idées, et de l'enthousiasme !

>En effet, la sémantique usuelle des maths classiques à base de vrai et de faux >(Tarski) est très pauvre comparée à, par exemple, l'interprétation fonctionnelle >des démonstrations (cf. théorie des types de Martin-Löf).
>C'est à mon avis cela qui perd les étudiants et leur font oublier (de force) le >sens des symboles qu'ils manipulent. Je crois qu'il est tout à fait regrettable >d'insister sur ce point d'entrée de jeu...

Comment n'y ai-je pas pensé ! Je crois que tout est beaucoup plus clair avec la théorie des types de Martin-Löf. Je me demande même pourquoi on n'apprend pas ça au collège.

>Il y a encore tant de choses à dire sur votre texte...

Vous me flattez...

>Hélas il représente bien l'idée majoritaire chez les mathématiciens (classiques) actuels

Tant mieux ! Je m'en voudrais de partir d'une position minoritaire pour présenter aux élèves le cours de mathématique qui leur servira de base pour toute la suite de leurs études. Si parmi eux s'en trouvent quelques uns pour s'intéresser de plus près aux problèmes de fondements, j'en serai le premier ravi. On peut toujours critiquer, essayer d'autres voies, faire la révolution culturelle, mais on a besoin, au départ, et quitte à s'y opposer, d'une culture.
Et c'est ce que j'essaie de leur donner.

Commentaire n°7 posté par Fabien Besnard le 19/11/2009 à 17h30

Ai-je eu tort d'espérer une réponse plus... argumentée de votre part ?

Le coeur du problème étant que votre texte est destiné aux étudiants de première année, et vous leur faites croire à des mathématiques hautement idéalistes et finalement plutôt déconnectées de la réalité. Et vous semblez apparemment plutôt d'avis qu'elles ne soient pas perçues comme telle.

Plutôt que d'enseigner le formalisme de la théorie des types de Martin-Löf (qui n'est pas plus difficile à comprendre que celui de la théorie des ensembles), on pourrait tout simplement se référer au sens courant de démonstration, soit une explication.

N'avez-vous jamais remarqué la difficulté que des étudiants ont lorsqu'ils apperçoivent une démonstration avec tiers-exclu; «on sait que A ou non A [ah bon ?], donc...» ? Ou pire, l'élimination de la double négation (équivalente au tiers-exclu); «s'il n'est pas possible que A soit faux, alors A doit être vrai (monde idéal), et nous considérons cet argument comme une démonstration de la vérité de A» !
J'ai récemment eu une question à ce propos lorsque je faisais une démonstration au tableau en utilisant ce principe (je ne suis pas sectaire); «mais je ne comprends pas pourquoi A est vrai». Ce qui est sous-entendu par cette remarque, c'est qu'on n'a jamais vraiment expliqué que A était vrai.

Expliquons-leur plutôt:
- qu'une preuve de «si A alors B» est une construction d'une preuve de B à partir d'une quelconque preuve de A;
- qu'une preuve de «A ou B» est une preuve de A ou une preuve de B avec indication de provenance;
- qu'une preuve de «il existe x vérifiant P» est un témoin t ainsi qu'une preuve que t vérifie P;
- etc.
C'est une version tout à fait informelle, bien moins idéaliste, et pour le coup plus réaliste et pragmatique, ce qui rejoins votre attente première.

Bien sûr, on peut leur expliquer peu après (au premier théorème classique) que les mathématiciens (classiques) font une supposition supplémentaire; le tiers-exclu. Cela reste tout à la fois assez général et informel pour ne pas les effrayer, et suffisamment précis pour qu'ils ne soient pas désespéré que les maths «c'est trop abstrait» !

Tout ça pour vous dire que la position dominante actuelle souffre de beaucoup de maux que vous accordez dans votre introduction à une autre branche des maths (que vous appellez le formalisme, mais où vous sous-entendez toutes les autres maths), alors qu'en fait, c'est juste l'inverse ! Et que votre introduction continue de les propager (malgré vous ou pas), avec une conséquence pédagogique certainement néfaste.

Je suppose que le contenu de votre précédent message se justifie par un manque de temps, cela afin d'en consacrer plus aux autres sujets sur lesquels vous vous exprimez sur ce présent blog (que j'espère continuer de lire).

Commentaire n°8 posté par Vincent le 20/11/2009 à 15h23

>N'avez-vous jamais remarqué la difficulté que des étudiants ont lorsqu'ils apperçoivent une démonstration avec tiers-exclu

Non, franchement, non. Je suis en train de corriger une centaine de DM avec du tiers-exclu à toutes les lignes, et ça ne leur pose strictement aucun problème (des problèmes il y en a bien d'autres).

Vous dites "les autres maths", mais de quoi parlez-vous ? ça existe vraiment des mathématiciens qui n'utilisent pas le tiers-exclu ? L'espèce ne s'est pas éteinte avec Brouwer ? Et ça ressemble à quoi, ça a des plumes ? des jolies couleurs ?

Vous me faites penser à ces gens qui expliquent les bienfaits de l'espéranto à l'époque où tout le monde parle anglais.

Bon vent.

Commentaire n°9 posté par Fabien Besnard le 20/11/2009 à 21h50

Eh bien maintenant c'est certain, vous ne maîtrisez absolument pas votre sujet, mais vous continuez d'en parler, et pire, de prendre les gens de haut. J'espère que vos étudiants vous lisent, ils sauront apprécier.
Je ne pensais pas que mon commentaire allait discrédité vos dires si facilement, et c'était loin d'être mon objectif. Je souhaitais simplement vous faire préciser votre pensée... qui apparemment s'est dissipée au vent !

Continuez de nous amuser avec votre ouverture d'esprit et votre culture absolue, surtout ne changez pas !

Commentaire n°10 posté par Vincent le 21/11/2009 à 14h20

Et vous, continuez d'aller insulter des gens qui ne vous ont rien demandé !

Vous êtes un grossier personnage, qui depuis le début m'agressez, en vous méprenant complétement sur mon texte, et en prodiguant des conseils pédagogiques aussi ridicules que prétentieux, insinuant que je cause du tort à mes élèves en ne me conformant pas à vos lubies.

Du reste, à quoi vous sert votre "érudition" si vous ne parvenez pas à saisir la différence entre le formalisme (une position philosophique) et le constructivisme (une branche des mathématiques) ?

Mon seul tort est de vous avoir répondu, on ne m'y reprendra plus. Libre à vous d'avoir le dernier mot si ça vous amuse.

Commentaire n°11 posté par Fabien Besnard le 21/11/2009 à 14h53

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