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Pourquoi la Géométrie ? Un exemple élémentaire.

19 Juin 2012, 12:07pm

Publié par Fabien Besnard

Nous avons vu que la géométrie était la grande victime des nouveaux programmes du Lycée, et bientôt des prépas.

Je voudrais montrer sur un exercice classique, que certains trouveront peut-être trivial, mais qui me semble un bon exemple de l'intérêt (je ne dis pas supériorité) et de la portée des méthodes géométriques.

 

Étant donnée une droite δ, deux points A et B du même côté de celle-ci, et un point X sur δ, il s'agit de trouver la position de X qui minimise la somme des distances AX+XB. Nous noterons M le point de δ qui réalise le minimum.

 

figblog1.jpg

 

La première méthode qui vient à l'esprit est analytique. En utilisant les notations indiquées sur la figure, il s'agit donc de trouver x pour que la quantité

f(x)=√(x2+a2)+√(b2+(d-x)2)

soit minimale. La fonction f est dérivable, et on trouve

f'(x)=x/√(x2+a2)+(x-d)/√(b2+(d-x)2)

Notons que ce calcul de dérivée ne peut, dans le cadre des nouveaux programmes, être envisagé qu'en terminale S. Et encore, il est d'une difficulté bien supérieure à ce qu'on trouve généralement dans les énoncés de Bac. Il fait certainement partie des calculs  "très techniques" pour lesquels le programme conseille l'utilisation d'un logiciel de calcul formel !

On doit ensuite résoudre l'inéquation f'(x)>0 :

f'(x)>0↔x/√(x2+a2)>(d-x)/√(b2+(d-x)2)
           ↔x2/(x2+a2)>(d-x)2/(b2+(d-x)2) 

           ↔x2b2>(d-x)2a2 

           ↔xb>(d-x)a   

           ↔x>ad/(a+b) 

 
Il y a 5 étapes dans cette résolution (et encore, je suis allé vite sur la fin), donc autant d'occasions de se tromper. De plus, il faut penser à justifier à deux endroits en utilisant la croissance stricte de la fonction x→x2.

 


Une fois qu'on a fait tout ça on peut donner le tableau de variation qui laisse apparaître un minimum pour x=ad/(a+b).

Cette méthode est bien sûr parfaitement respectable. Les (rares) élèves qui seraient capables de la mener à bien sans erreur et en donnant toutes les justifications mériteraient les éloges de leur professeur.

Réfléchissons cependant à la démarche suivie. Dès le départ elle est assez automatique : elle relève de la bonne application d'une méthode universelle (merci à MM. Descartes, Newton et Leibniz), et ne nécessite pratiquement pas de réflexion. Enfin, la solution apparaît à la dernière étape du calcul, sans que l'on sache pourquoi on tombe sur cette valeur et pas sur une autre. C'est encore pire pour ceux qui auront eu besoin d'un logiciel de calcul pour la dérivée : ils n'auront fait qu'assister passivement à une résolution qui leur échappe complétement. Comme le dit Jean-Jacques Rousseau (citation repérée dans ce texte de Daniel Perrin)

 

Je n'aimais pas cette maniere d'opérer sans voir
ce qu'on fait, et il me semblait que résoudre
un probleme de géometrie par les équations,
c'était jouer un air en tournant une manivelle.



Comme beaucoup d'entre vous le savent, il existe une solution bien plus élégante. Il suffit de construire le point B', symétrique de B par rapport à la droite δ  (voir la figure 2). Comme AX+XB=AX+XB', minimiser l'une de ces sommes revient à minimiser l'autre. Or il est bien connu  que la ligne droite étant le plus court chemin d'un point à un autre, la somme des distances est minimale lorsque A,X,B' sont alignés, autrement dit M est l'intersection de la droite (AB') avec la droite δ.

 

figblog2.jpg


Maintenant que la position de M est connue, on peut trouver, si on la désire, son abscisse sur δ à l'aide du théorème de Thalès (version "papillon").

Voyons les différences avec la première méthode. Tout d'abord il est difficile de démarrer : on peut sécher pendant un moment. Ici je me permets de citer une phrase d'Alain Connes (toujours issue du même texte de Daniel Perrin) :

J'ai toujours pensé que l'on progressait davantage en séchant sur un
problème de géomètrie qu'en absorbant toujours plus de connaissances mal digérées.


La difficulté vient ici du fait qu'il faut construire quelque chose qui n'existe pas dans l'énoncé initial. Il faut donc faire preuve d'initiative et de créativité. Il est notoire que ce sont les deux qualités qui manquent le plus aux élèves actuels : le fait qu'ils aient été exposés à si peu de Géométrie ni est peut-être pas étranger.

Cependant, dès que le point B' est construit, la solution devient évidente ! On a vraiment le sentiment de comprendre pourquoi le point M est là et pas ailleurs. De plus, la solution donne une construction géométrique très simple du point M, alors que la première méthode ne donne qu'une abscisse (si on cherche à construire cette abscisse géométriquement on retombe sur la deuxième méthode). Enfin, elle donne une autre information, capitale, que l'on aurait été bien en peine de trouver avec la première méthode : les angles α et β sont égaux lorsque X est en M. Ce n'est pas anecdotique : cela fait le lien avec les lois de la réflexion et le principe de Fermat. En un mot la méthode géométrique est plus féconde (dans cet exemple).

Elle est plus élémentaire aussi : elle n'utilise que les propriétés des symétries axiales et l'inégalité triangulaire, qui sont, encore pour l'instant, au programme du collège. (Cela rend d'ailleurs peut-être l'exercice difficile pour des Lycéens, car ces connaissances, en particulier l'inégalité triangulaire, sont lointaines, et n'ont été que très peu entretenues en Seconde.)

Bien sûr, certains pourront objecter qu'elle relève de l'astuce : il est probable que très peu d'élèves auront l'idée de construire le point B'. À ceci on peut répondre deux choses.

 

Premièrement, le professeur peut guider les élèves, leur faire deviner l'astuce : cela peut rendre l'exercice ludique et interactif (il sera bien plus difficile de rendre la première méthode ludique). Le professeur pourra faire remarquer qu'il s'agit de minorer une somme de deux distances : quel théorème de Géométrie donne un tel résultat ? L'élève qui comprend le "truc" en premier aura en prime le plaisir de cet instant de découverte où l'on pourrait s'écrier "Euréka !"  Où ailleurs qu'en Géométrie peut-on, à un niveau élémentaire, faire ressentir cette joie aux élèves ? Il serait vraiment dommage de s'en priver.

 

Deuxièmement, les deux méthodes peuvent se compléter : on peut commencer par la méthode analytique, puis placer le point M à l'aide d'une règle, ce qui peut éventuellement conduire à l'idée d'une méthode géométrique (l'expression du résultat peut aussi éventuellement faire penser au théorème de Thalès).

 

Terminons sur une variante de cet exercice qui servira à illustrer un autre attrait de la Géométrie : la variété des méthodes, qui permet là aussi d'exercer la créativité des élèves.

Il s'agit maitenant d'envoyer une boule de billard du point A au point B en la faisant rebondir sur la droite δ. Autrement dit, il faut trouver la position de X telle que les angles α et β soient égaux. Voici trois méthodes, on peut sûrement en imaginer d'autres :

1) On écrit l'égalité des tangentes des angles.
2) On utilise les triangles semblables.
3) On construit le point B' et on utilise les angles opposés par le sommet.

Notons que la deuxième méthode, intéressante car elle ne nécessite pas de construction intermédiaire, n'est plus au programme (à quelque niveau que ce soit).





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Fabien Besnard 09/07/2012 19:06


Bonjour Laurent, et merci pour ta réaction. Je ne crois pas en effet qu'il soit judicieux de poser cet exercice à des élèves de 4e, fussent-ils brillants, et les laisser sécher une heure comme
l'a fait ton prof. Car bien que la solution soit élémentaire, il faut un certain recul pour la trouver, et, comme je l'ai indiqué dans le billet, il peut être bon de trouver d'abord la position
du point par une méthode analytique (qu'on pourra laisser les élèves trouver en autonomie). Cette façon de procéder est encore plus marquante pour les esprits. Enfin, il faut savoir faire deviner
la solution sans tout balancer, c'est tout un art. Mais quoi de plus gratifiant quand ça marche ! (pour le prof et surtout pour les élèves)


Je me souviens avoir réussi à faire "acoucher" des élèves en TD de Deug de la méthode diagonale de Cantor, et je n'oublierai jamais le regard de cette élève qui s'est soudain illuminé...


Je ne crois pas que la question primordiale soit celle de l'utilité : la question primordiale est celle de la motivation. Je me permets de te renvoyer à cet autre billet :


http://math-et-physique.over-blog.com/article-31966964.html


où j'ai un peu développé l'idée que l'on ne s'intéresse jamais à une chose parce qu'elle est utile, mais parce qu'elle est belle.

Laurent Decreusefond 09/07/2012 10:14


Il se trouve que ce problème précis me rappelle un souvenir de ma classe de 4eme. Notre professeur nous l'avait posé tel quel et nous avait laissé chercher pendant une heure. Personne n'avait
trouvé alors que de cette classe sont issus 2 normaliens (en maths), 1 chercheur CNRS et quelques ingénieurs. C'était une classe normale de 4eme dans un collège de province quelconque des années
80. Pourtant, personne n'avait trouvé. 


 


Alors c'est sûr que maintenant que je suis prof et chercheur en  maths, je suis très sensible à la "beauté" de cet exercice. La démonstration géométrique est particulièrement élégante, ne
nécessite aucun calcul, etc. Toutefois, ne sommes-nous pas en train de nous éloigner de ce que doit être l'enseignement de base des maths ? Le prof se fait plaisir parce qu'il a un "bel" exercice
au sens où lui le trouve original parce que ça le change des lignes de calcul stupide de la preuve analytique. Mais du point de vue de l'étudiant, c'est un exercice un peu "magique" : soit tu as
l'Idée, soit tu ne fais rien. Pas très encourageant, pas très formateur car l'idée sera différente au prochain exercice.


En me faisant l'avocat du diable, je dirais même que la méthode analytique permet au moins de mettre en oeuvre les compétences acquises en calculs et nécessite quand même un peu d'initiative
parce qu'il faut choisir les bonnes variables.


 


Bref, ce n'est pas avec ce genre d'exercices qu'on va me faire regretter la disparition de l'enseignement de la géométrie. Je suis pourtant particulièrement heureux et plus sûr de mes résultats
quand dans ma propre recherche, je trouve une interprétation "géométrique" à mes calculs.


 


Le vrai problème n'est pas de savoir si l'on doit faire de la géométrie ou des probas mais de savoir pour qui et pour quoi on apprend des maths. Est-ce pour la formation de l'esprit ou pour avoir
une (petite) boîte à outils ? Les programmes actuels de lycée ont tranché la question exclusivement en faveur de la deuxième solution. J'ai toutefois du mal à m'y résoudre.

Dassonval 20/06/2012 11:54


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