Qu'est-ce qu'une culture mathématique minimale ?

Il est difficile de définir ce qu'est une culture minimale, quel que soit le domaine considéré. Néanmoins, tentons l'expérience. Qu'est-il absolument indispensable de connaître pour avoir une idée de l'évolution, de l'architecture interne, et de l'influence externe des mathématiques, de façon à pouvoir replacer le tout au sein d'une culture générale raisonnablement consistante ?

Ces quelques choix, forcément arbitraires, sont principalement axés sur les problèmes laissés par les Grecs, et sur les bouleversements qui ont permis leur résolution et leur dépassement. L'inconvénient est bien sûr de laisser penser que les mathématiciens ont passé des siècles à réfléchir sur la duplication du cube ou le cinquième postulat d'Euclide, alors qu'en réalité ces sujets étaient presque marginaux. Mais la fidélité historique n'est pas le but recherché : il s'agit simplement de donner des références essentielles.

Voici donc ce qui m'est venu à l'esprit.

Nombres premiers : connaître une démonstration de leur infinité et de l'unicité de la décomposition en produit de facteurs premiers.

Connaître une démonstration de l'irrationalité de racine de 2.

Problèmes classique de duplication du cube, quadrature du cercle, et le principe, dans les grandes lignes de leurs résolutions.

Fondements de la géométrie euclidienne, tentatives de démonstration du 5e postulat, preuve de l'existence de géométries non-euclidiennes, avec au moins un exemple de modèle de la géométrie hyperbolique (par exemple le demi-plan de Poincaré). Notions de géométrie Riemannienne.

Notion d'équipotence d'ensembles infinis, argument diagonal de Cantor, X n'est pas équipotent à P(X).

Crise des fondements des mathématiques, axiome du choix. Théorèmes de Gödel.

Un minimum de théorie des groupes.

Un exemple de foncteur, par exemple le groupe fondamental.

Décomposition en série de Fourier, dans les grandes lignes.

Loi des grands nombres, théorème de la limite centrale.

Le théorème de Faltings, parce qu'il est sublimement beau, et parce que c'est un bel exemple de l'unité des mathématiques.

Merci à mes lecteur de critiquer/compléter ma liste !