Pourquoi vivons-nous dans espace-temps à 4 dimensions ? Voilà une question à laquelle il semble très difficile de répondre. Pour certains c’est une question plus métaphysique que physique, pour d’autres il est tout simplement trop tôt pour tenter d’y répondre. Cependant, plusieurs théories spéculatives de gravité quantique semblent avoir leur mot à dire : la théorie des supercordes, qui est la première historiquement à s’être confrontée au problème, et plus récemment la théorie des « triangulations dynamiques causales», et enfin la théorie des « équations d’Einstein quantiques ».
On affirme souvent que la théorie des supercordes « prédit » que l’espace-temps possède 10 dimensions (ou 11 pour la théorie M). La situation est toutefois un peu plus compliquée. La théorie classique d’évolution d’une corde est soumise à un certain type de symétrie (symétrie conforme). Pour que cette symétrie soient préservée telle qu’elle au niveau quantique (on dit alors qu’il n’y a pas d’anomalie conforme), il est nécessaire qu’une certaine équation soit vérifiée, et il se trouve qu’elle l’est si et seulement si la dimension de l’espace-temps est égale à 10. Cette dimension est appelée dimension critique. Le fait de travailler en dimension critique simplifie considérablement la théorie et permet d’éviter certaines pathologies. Cependant, rien ne semble interdire l’existence, au moins d’un point de vue mathématique, d’une théorie des supercordes en dimension non critique et en particulier sub-critique. L’affirmation parfois entendue que la théorie des supercordes a un sens si et seulement si d=10 est donc sujette à caution. Tout ce qu’on peut dire c’est que l’absence d’anomalie conforme nécessite que la dimension de l’espace-temps soit 10, mais l’absence d’anomalie conforme n’est en aucun cas une exigence mathématique et encore moins une donnée expérimentale. En tout état de cause on ne peut pas dire que la théorie des supercordes prédise la dimensionnalité de l’espace-temps. Tout au plus on peut dire que certaines exigences de simplicité interne à la théorie amène naturellement à cette conclusion. Ce qui n’est pas si mal, enfin si l’on excepte le fait que toutes les données dont nous disposons actuellement indiquent que notre univers a 4 dimensions d’espace-temps, et non pas 10 ! Mais restons ouvert sur ce point, la situation évoluera peut-être avec de nouvelles expériences.
La théorie des triangulations dynamiques causales (CDT), d’Ambjorn, Jurkiewicz et Loll est une approche totalement différente. L’idée est de quantifier la relativité générale via les intégrales de Feynman. Pour évaluer ces dernières, qui sont très mal définies, on fait une triangulation de l’espace-temps par des 4-simplexes, ce qui est l’équivalent à 4 dimensions de la représentation d’une surface sur un écran d’ordinateur par une myriade de minuscules triangles, puis on fait tendre la taille des 4-simplexes vers zéro. Cette méthode permet des calculs numériques, en particulier on peut estimer quelles sont les configurations des 4-simplexes (les uns par rapport aux autres) les plus probables par des méthodes de Monte-Carlo. La surprise est que ces configurations sont complètement pathologiques : tous les simplexes s’agglutinent, auquel cas ils ne forment pas un espace-temps macroscopique, ou au contraire ils se rangent les uns derrière les autres en une longue chaîne, un peu comme des molécules au sein d’un polymère. Remarquons qu’un tel arrangement a une dimension macroscopique égale à 1, même si les briques élémentaires (les simplexes) sont de dimension 4, de même qu’un spaghetti vu de loin semble être un objet à une dimension. (En fait la dimension macroscopique n’est pas réellement égale à 1, mais à 2 car les « polymères » se recroquevillent à la manière des fractales.)
Ce résultat est évidemment inacceptable. Cependant, et de façon très remarquable, si on demande que les simplexes se recollent uniquement de façon à ce que la causalité soit respectée en passant d’un simplexe à l’autre, les configurations dominantes ont une dimension macroscopique égale à 4. Ce résultat est résumé dans l’article cité plus haut par « la causalité implique la 4-dimensionalité ! ». Cela ne me paraît absolument pas justifié. En effet, en partant de simplexes de dimension 3 et en appliquant le même principe, on obtient des configurations de dimension macroscopique égale à 3. On peut donc dire (au moins pour les dimensions 2,3 et 4, seules explorées pour l’instant) que des briques élémentaires de dimension d + la causalité microscopique implique une dimension macroscopique égale à d. Il s’agit donc bien plus d’une condition de cohérence interne à cette formulation que d’une explication de la dimensionnalité de l’espace-temps à partir de la causalité microscopique. Allons un peu plus loin. Les simulations numériques de la CDT avec des briques élémentaires de dimension 4 indiquent de façon très surprenante que, bien que la dimension macroscopique soit égale à 4, la dimension à très petite échelle (mais supérieure à l’échelle des briques) est plus petite ! En fait elle semble tendre vers 2 pour les petites distances ! Or il se trouve que ce résultat concorde avec ce qu’on trouve dans le cadre des la théorie des « équations d’Einstein quantiques » de Reuter et Lauscher. Les auteurs y voient une confirmation qu’ils sont sur la bonne voie. Je reconnais ma totale incompréhension des travaux de Reuter et Lauscher, et j’accueillerai volontiers toute explication sur le sujet. Cependant, concernant les travaux de Loll et al, je dois avouer que vois le phénomène de changement de dimension aux petites échelles comme plutôt pathologique. En effet, parmi les hypothèses initiales de la théorie, il y a la dimensionnalité des briques de base, qui est prise égale à 4, et ce 4 vient de notre intuition macroscopique. Si réellement la dimension effective de l’espace-temps est 2 aux petites échelles, et si nous vivions à ces échelles, nous n’aurions jamais construit une théorie fondée sur des briques élémentaires de dimension 4 ! Autrement dit, si la théorie des CDT pointe dans la bonne direction, il devrait être possible de la reformuler directement à partir d’objets de base 2-dimensionnels.
Ceci fait immanquablement penser à gravité quantique à boucle. Cette théorie ne dit a priori rien sur la dimension de l’espace-temps. Elle est prise au départ égale à 4 de façon classique. Il se trouve cependant que les excitations de la géométrie spatiale sont données par des objets de dimension 1, les réseaux de spin, tandis que leur évolution dans le temps peut s’exprimer en terme de « mousses de spin » de dimension 2. De même certains théoriciens de cordes, comme Brian Greene (du moins si j’ai bien compris sa pensée), estiment qu’une formulation non-perturbative de leur théorie devrait faire des surfaces tracées par l’évolution des cordes la véritable « essence » de l’espace-temps, qui serait alors là aussi fondamentalement de dimension 2.
On peut voir l’ébauche d’une convergence, sans qu’on puisse bien sûr en déduire qu’elle se fait dans la bonne direction.
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