L'Éléphant N° 3
Le numéro 3 de votre revue de culture générale préférée est dans les kiosques !
Vous pourrez y découvrir l'épisode 2 du dossier "De quoi est fait le monde ?". Vous pouvez lire le début ici.
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/http%3A%2F%2Fassets.over-blog-kiwi.com%2Ft%2Fdelicate%2Fimages%2Fheader%2Fheader.jpg "Préparer sereinement son entrée en prépa scientifique")
maths, physique et miscellanées
/image%2F1208008%2F20250305%2Fob_b782c8_couvprem.jpg "Les maths en profondeur : classe de première")
/image%2F1208008%2F20240531%2Fob_b832d0_9782340-088689-couv-mev-page-001.jpg "Les maths en profondeur (Seconde)")
math-et-physique
Conférence Alan Sokal
Je vous transmets en vitesse une annonce de conférence qui pourrait intéresser certains d'entre vous.
Alan Sokal (New York University) est l’invité de SACRe (PSL-ENS, ED 540) et du Département d’histoire et de théorie des arts de l’ENS, voir
http://www.dhta.ens.fr/enseignements/histoire-de-l-art/article/alan-sokal-professeur-invite
Le 10 juin, 17.00-19.00, PSL, Villa Pasteur, 62 bis rue Gay-Lussac, 75005, salle de réunion, il animera une discussion intitulée « Quelques réflexions autour du livre de Nicholas Maxwell, The comprehensibility of the universe », dans le cadre d’un séminaire organisé par le Département de philosophie de l’ENS et l’Institut d’Histoire et de Philosophie des Sciences et des Techniques (CNRS-Paris 1-ENS).
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A friendly introduction to the concepts of noncommutative geometry
I had the pleasure to talk this friday at this seminar. Now I've just finished cleaning up the notes I had prepared for this talk, and I thought it might be of interest to some of you. Here they are.
It is a very low-tech introduction to an introduction, and it should be easy to follow for anybody with undergraduate level in math or physics.
Update 11/08/2013 : important remark added at the end of appendix 1.
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Episcience
Je relaie ici très rapidement une information qui me semble très importante : le lancement prochain de journaux en lignes entièrement gratuits pour les auteurs comme pour les lecteurs ("diamond open access").
L'idée est d'ajouter une couche aux sites d'archives en ligne tels que arxiv ou hal. Les articles sont d'abord déposés sur le site d'archive, puis soumis à "l'épijournal", comme il est de coutume. S'il est accepté, après un processus éditorial classique, un lien vers l'article archivé (éventuellement modifié) sera ajouté à l'épijournal. Ainsi le même service de peer-reviewing est assuré par l'épijournal que par un journal classique.
Comme les auteurs fournissent gratuitement leurs articles, et que les referees fournissent gratuitement leurs services seul le coût de gestion du site reste à couvrir, et ce qui est intéressant est qu'il y a un soutien officiel pour ça.
Cela ouvre également plein de perspectives fascinantes, comme de publier les commentaires du referee simultanément avec l'article, d'ajouter des outils de discussion comme sur un blog, etc.
De quoi dynamiter le système actuel...
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De quoi est fait le monde ?
C'est le titre du cours d'histoire des sciences que je commence demain à l'EPF.
Voici 4 séries de diapos, et il y en aura une 5e : épisode 1, épisode 2, épisode 3, épisode 4
Les mêmes en version imprimables : ep1, ep2, ep3, ep4
Des notes de cours viendront mais dans très très longtemps... En attendant vous pourrez vous procurer la revue "L'éléphant" (numéros 2-5) pour lire mes articles si vous êtes intéressés.
MAJ du 02/02/13 : voici l'épisode 5, et la version imprimable du même.
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Carlo Rovelli à propos des mathématiques/Carlo Rovelli on mathematics
Jolie phrase de Carlo Rovelli hier à propos des mathématiques :
"Les mathématiques sont la source des évolutions possibles de notre vision du monde."
Je vous laisse méditer (et commenter !)
Nice quote of Carlo Rovelli on mathematics yesterday (personal translation) :
"Mathematics is the source of the possible evolutions of our world view".
Any comment ?
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L'éléphant, la revue
Une nouvelle revue trimestrielle de culture générale paraîtra en kiosque jeudi prochain. Comme son nom l'indique, "L'éléphant" aura pour ambition de faire en sorte que ses lecteurs se souviennent de ce qu'ils ont lu. Les articles seront très didactiques, et couplés à un site internet sur lequel on pourra réactiver ses neurones.
Un autre point très intéressant de cette nouvelle revue est qu'elle inclut les sciences dans la culture générale : ce n'est pas si courant et cela mérite d'être souligné. C'est en grande partie pour ça que j'ai accepté de participer à cette aventure en tant qu'auteur.
Vous pourrez retrouver mon article (qui sera suivi de trois autres) dans le numéro 2. Ce sera une sorte de feuilleton en quatre épisode sur l'histoire des sciences de la matière. Carlo Rovelli m'a fait l'honneur d'accepter une interview qui complétera le premier épisode. Amusant : il venait juste de rentrer d'une conférence qu'il avait donnée et dont le titre était exactement le même que celui de mon article ! (Si vous me dites que les grands esprits se rencontrent, je vais rougir...)
Mais bien sûr, pour qu'il y ait un numéro 2 (et 3, et 4, et 5,...), encore faut-il que le numéro soit un grand succès ! J'espère que mes chers lecteurs de Mathéphysique y contribueront !
Alors n'oubliez pas : L'éléphant, la revue, en kiosque le 24 janvier.
PS : vous pouvez déjà vous abonner. Un an=4 numéros de 160 p couleurs, 60 Euros.
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nouveau programme de maths PCSI
Les changements sont globalement les mêmes qu'en MPSI (voir article ci-dessous). Les gros blocs qui disparaissent sont : courbes paramétrées, coniques, propriétés métriques des courbes, fonctions de plusieurs variables. Ceux qui apparaissent : probas, séries.
À ceci s'ajoutent des pertes qui peuvent sembler mineures : produit vectoriel et mixte, barycentres et fonctions convexes. Ce sont pourtant des notions cruciales en physique. Il est ici encore plus patent que pour le programme de MPSI, et c'est encore plus grave dans une section à dominante physique, que le programme de maths a été pensé en totale indépendance de la physique.
Ajoutons que disparaissent les derniers vestiges d'algèbre abstraite (groupes, anneaux, corps), ce qui peut se concevoir. Cependant, les déterminants sont maintenant étendus à la dimension n, ce qui est une bonne chose... mais sans le groupe symétrique, la formule générale du déterminant ne peut même pas être écrite ! Autre incohérence, d'après le préambule du programme, "les notions de géométrie euclidienne et affine du lycée sont reprises dans un cadre plus général", ce qui va être difficile alors que la notion même d'espace affine est absente du programme de PCSI...
En fait, il n'y a plus la moindre géométrie dans ce programme, sauf à un endroit : dans le chapitre "nombres complexes", on introduit, pour la première fois dans toute la scolarité des pauvres étudiants version "Châtel", les notions de translation, rotations, homothétie. Au moins les MPSI ont droit à l'étude générale des isométries et des similitudes, qui s'est glisée dans le chapitre "espaces euclidiens", mais pas les PCSI, qui peuvent traverser leur année de sup sans jamais voir une seule rotation dans l'espace. En tout cas en maths.
Pour terminer sur un petit sourire, deux notions sont explicitement hors-programme : les fonctions continues par morceaux, et les relations entre coefficients et racines d'un polynôme autre que celles donnant la somme et le produit (les élèves seront donc priés de ne pas regarder les autres coefficients lorsque le professeur fera la démonstration au tableau !). Voilà qui permettra, j'imagine, de gagner un temps considérable !
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Comparatif ancien/nouveau programme de maths en prépa
J'ai compulsé le projet de programme de maths pour la rentrée 2013 (merci à Mathoman pour ce lien !), pour l'instant seulement pour la MPSI.
Voici ce que j'ai trouvé comme changements. Un ? signale que j'imagine qu'il s'agit d'un oubli de ma part ou de celle des auteurs.
I) Changements majeurs
a) En plus dans le nouveau programme
1) Chapitre sur les séries numériques
2) Chapitre sur les probabilités finies
b) En moins dans le nouveau programme
1) Produit vectoriel
2) Chapitre sur les courbes paramétrées
3) Chapitre sur les coniques
4) Chapitre sur l'étude métrique des courbes planes
5) Chapitre sur les fonctions de plusieurs variables et les intégrales multiples
6) Champs de vecteurs
7) Intégrales curvilignes
8) Barycentres
9) Fonctions convexes
10) Cercles ? (Je n'ai trouvé nulle trace d'une équation de cercle, et encore moins de sphère dans ce programme ! Ni non plus de leurs intersections entre eux ou avec des droites)
II) Changements mineurs
a) En plus
1) fonction tangente (rendu nécessaire car plus enseignée au Lycée) 2) Insistance sur diverses factorisations en trigo
3) parties positives et négatives d'un réel 4) suites linéaires récurrentes d'ordre 2 ?
5) caractérisation de la continuité par les suites 6) parties denses de R
7) relations d'équivalence (mais pas ensemble quotient...) 8) congruences dans Z
9) somme directe de plus de 2 sev 10) théorème de la base extraite
11) matrices par blocs 12) matrices équivalentes
13) matrices semblables 14) Trace
15) déterminants de VdM 16) distance d'un vecteur à un sev
17) classifications des isométries indirectes 18) principe de la démo de BW
19) démo de l'existence et unicité de la décomposition primaire d'un entier 20) démo de l'unicité du déterminant
b) En moins
1) expressions de sin, cos, tan x à l'aide de tan x/2 2) coordonnées polaires
3) équations polaires d'une droite, d'un cercle 4) expression cpx du ps
5) expression cpx du déterminant 6) paramétrage d'une droite affine ?
7) d'un plan affine ? 8) perpendiculaire commune à deux droites de l'espace
9) angle de deux droites 10) coord cylindriques, sphériques
11) fonctions hyperboliques réciproques 12) méthode d'Euler
13) démo de l'existence et de l'unicité de la solution d'un pb de Cauchy pour une éq diff lin d'ordre 2 14) restriction des seconds membres possibles pour ces équations
15) borne sup et inf d'une fonction ? 16) démo du th de prolongement C^k
17) invariance de l'intégrale par translation 18) inégalité de la moyenne
19) notion d'anneau intègre 20) démo de la décomposition en élts simples d'une frac. rat.
21) matrices symétriques, antisymétriques 22) applications affines
Quelques commentaires rapides en attendant mieux :
1) en regardant ce qui disparaît, on s'aperçoit immédiatement que les rédacteurs du programme se sont plus intéressé à l'harmonie interne de leur construction qu'à son applicabilité à la physique, malgré les petites remarques sur les possibles liens entre telle ou telle notions de maths et de physique. La grande perdante de cette réforme sera la mécanique ! Probablement un sujet mineur...
2) on peut toujours se rassurer en se disant que telle ou telle notion sera dans le programme de spé (au dépens d'autres points, évidemment). Mais nous sommes priés d'attendre mi-mai pour le connaître. Je ne vois pas d'autre justification à cette césure que le fait que le programme de spé ne soit tout simplement pas prêt...
J'attends vos commentaire, et surtout n'hésitez pas à me signaler si je me suis trompé ou si j'ai omis quelque chose. Il est parfois difficile de se retrouver dans certains thèmes qui apparaissent à plusieurs endroits (comme les diverses formules de Taylor).
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A Stone-Weierstrass theorem for increasing functions
I recently got interested into extensions of the Stone-Weierstrass theorem for the set of continuous non-decreasing continuous functions on some compact poset M (if you want to know why, take a look at that). I thought that maybe some readers here might be interested by it.
Such a theorem already exists and is due to Nachbin (even if he did not formulate it that way) : a sufficient set of conditions for a bunch of continuous non-decreasing functions (call it S) to be uniformly dense in the set of all these functions (call it I(M)) is :
1) to be a convex cone
2) to be a sublattice (stability under max and min)
3) to contain the constant functions
4) to generate the order
The final condition means that not only x less than y => f(x) less or equal to f(y) for every f in S, but that the converse is true, that is, if f(x) is less or equal to f(y) for every f in S, then x has to be less or equal to y for the partial order on M. Basically, this is just a corollory of the lattice version of SW.
However, I wasn't satisfied with this theorem, mainly because I was interested in noncommutative generalizations, and though noncommutative max and min are possible to define (through the formula 1/2(x+y +/- |x-y|), which does not need the commutativity of the product), they cease to satisfy lattice axioms, and are kind of cumbersome to calculate.
Now the classical SW theorem can be recast in a somewhat odd way : a non-empty subset S of the continuous real functions on some compact hausdorff set M is dense in the continuous functions if :
1) S is stable by sum,
2) the affine functions operate on S,
3) the function t -> t² operates on S.
2) and 3) mean that if f is in S, then af+b and f² also are. In fact, one can use any non-affine function instead of t -> t².
So I set out to prove a theorem of this sort for non-decreasing functions. Here is what I found : let S be a non-empty subset of the set of continuous non-decreasing functions on a compact poset M. Then S is uniformly dense in I(M) if :
1) S is stable by sum,
2) the continuous non-decreasing piecewise linear functions operate on S,
3) S generates the order on M.
If you want to look at the proof, here is the short note I have put on arxiv last week.
I'm happy with this theorem because I can change 2) by saying that any continuous non-decreasing function from R to R operates on S, which is really the weakest condition I could hope for for what I intend to do with that (I explain this at the end of this talk).
Now there are some obvious questions. The first that comes to mind is that maybe we don't really need the piecewise linear functions, but just the affine (non-decreasing function) plus a non-affine one (why not t -> t^3 ?). My first guess is that this won't work, but maybe some reader wants to check. My other concern is more vague : surely if S has to be dense in I(M), then the closure of S (that is I(M) itself) will be operated upon by all continous increasing functions from R to R, just because (posets+topology,continous non-decreasing maps) form a category. So maybe this hypothesis might be given a categorical meaning (I told you this was a vague question).
Ahem, there is just one more question : what the hell can you do with this theorem ? Even though I have something completely different in mind, I looked a bit for an application of this theorem in the realm of classical analysis, but couldn't find any. Here also, maybe my readers will be more clever than me.
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