Nouveau billet sur le blog des livres
Il s'agit d'une critique du livre de John Barrow, "Une brève histoire de l'infini".
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/http%3A%2F%2Fassets.over-blog-kiwi.com%2Ft%2Fdelicate%2Fimages%2Fheader%2Fheader.jpg "Préparer sereinement son entrée en prépa scientifique")
maths, physique et miscellanées
/image%2F1208008%2F20250305%2Fob_b782c8_couvprem.jpg "Les maths en profondeur : classe de première")
/image%2F1208008%2F20240531%2Fob_b832d0_9782340-088689-couv-mev-page-001.jpg "Les maths en profondeur (Seconde)")
math-et-physique
Mise à jour du cours sur la relativité
J'ai repris ce cours cette année avec une vingtaine d'élèves sympathiques et motivés, que je tiens à remercier ici. J'ai profité de l'occasion pour éliminer quelques coquilles et ajouter deux ou trois choses à mon cours. Voici le lien, ainsi que le lien vers la liste des modifications. Je signale l'amusant exercice 2.2.2, qui m'a été inspiré par une question d'un élève, et qui est typique du genre de piège que la théorie de la relativité recèle.
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Nouveau billet sur le blog des livres
À propos du livre de David Ruelle, "L'étrange beauté des mathématiques".
Voici le lien.
Voici le lien.
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Cosmologie quantique à boucles
Je voudrais signaler un article récent d'Ashtekar qui fait le point sur les progrès dans le domaine de la cosmologie quantique à boucles (loop quantum cosmology). Sans trop rentrer dans les détails techniques, il expose bien les problèmes conceptuels auxquels ce domaine en plein essor doit faire face. La LQC est l'application à la cosmologie de la gravité quantique à boucles (LQG).
Le principal résultat est la résolution de la singularité initiale dans de nombreux modèles différents : autrement dit, il n'y a pas de big bang. Quand l'univers atteint une densité critique, de l'ordre de la densité de Planck, il "rebondit" : le big bang est remplacé par un big bounce, et il n'y a jamais ni densité ni courbure infinie. Les effets quantiques résolvent la singularité de même qu'ils évitent à l'électron de l'atome d'hydrogène de spiraler vers le noyau, comme la théorie classique le prédit.
Par ailleurs, les effets quantiques ne se manifesteraient que dans les très hautes densités, étonnamment proches de celle de Planck, ce qui valide l'approximation classique utilisée dans les modèles de cosmologie inflationnaire.
La cohérence et la convergence de ces résultats permettent d'envisager une résolution des singularités dans tous les modèles d'univers, ce qui serait un beau succès pour la LQC, et donc indirectement pour la LQG. Il faut noter que l'ancêtre de la LQG, la géométro-dynamique de Wheeler et De Witt, et son application à la cosmologie ne parvenaient pas à ce résultat.
Le principal résultat est la résolution de la singularité initiale dans de nombreux modèles différents : autrement dit, il n'y a pas de big bang. Quand l'univers atteint une densité critique, de l'ordre de la densité de Planck, il "rebondit" : le big bang est remplacé par un big bounce, et il n'y a jamais ni densité ni courbure infinie. Les effets quantiques résolvent la singularité de même qu'ils évitent à l'électron de l'atome d'hydrogène de spiraler vers le noyau, comme la théorie classique le prédit.
Par ailleurs, les effets quantiques ne se manifesteraient que dans les très hautes densités, étonnamment proches de celle de Planck, ce qui valide l'approximation classique utilisée dans les modèles de cosmologie inflationnaire.
La cohérence et la convergence de ces résultats permettent d'envisager une résolution des singularités dans tous les modèles d'univers, ce qui serait un beau succès pour la LQC, et donc indirectement pour la LQG. Il faut noter que l'ancêtre de la LQG, la géométro-dynamique de Wheeler et De Witt, et son application à la cosmologie ne parvenaient pas à ce résultat.
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Il concerne la collection "Introducing... " de chez Icon Books.
PS : ce n'est pas moi qui ait (ironiquement ?) choisi l'illustration...
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Qu'est-ce qu'une culture mathématique minimale ? (2)
Dans mon précédent billet, j'ai commis deux erreurs : celle de ne pas expliciter ce que j'entendais par "culture mathématique" et celle de ne pas parler du niveau d'expertise technique que j'imagine nécessaire pour chacune des notions que j'ai évoquées. J'espère dissiper les éventuels malentendus en réparant ces erreurs aujourd'hui.
Premièrement qu'est-ce qu'une culture mathématique ? Je n'entends pas du tout l'expression "culture mathématique" dans le sens où Benjamin l'a compris, à savoir un corpus de connaissances et de techniques utile dans l'exercice de telle ou telle profession, comme lorsqu'on parle de culture mathématique pour l'ingénieur, mais je l'entends exactement dans le sens de "culture musicale" ou "culture littéraire". Or il est clair que la connaissance de l'alphabet et des règles les plus courantes de l'orthographe et de la grammaire ne constitue qu'un préalable à l'acquisition d'une culture littéraire, et ne saurait être considérée comme faisant partie de celle-ci. C'est pourquoi je ne considère pas, comme Jéro, que la définition d'un nombre irrationnel (programme de seconde, anciennement programme de collège) fasse partie de la culture mathématique, mais que j'estime qu'il s'agit d'une partie de la "mathematical literacy", expression que non seulement j'ai beaucoup de mal à traduire, mais qui de plus n'est pas absolument adéquate. Pour donner une idée de ce que j'estime être du ressort de la "mathematical literacy", je dirais que ça recouvre à peu près le programme actuel de Terminale S. On pourra trouver choquant que je considère l'ignorance du calcul intégral ou des logarithmes comme un équivalent mathématique de l'illettrisme. Ce serait en effet très exagéré : je dirais plutôt qu'il s'agit de l'équivalent d'une ignorance complète du passé simple. Je sais que, lisant cela, d'aucuns trouveront que je suis décidément un incorrigible élitiste, qualificatif que je ne récuse d'ailleurs pas en certaines circonstances, mais qui serait ici entièrement infondé, car je ne me félicite pas le moins du monde que la majeure partie de la population soit pratiquement illettrée sur le plan mathématique. Il me semble cependant que c'est un fait. Je ne considère pas non plus que ce problème soit inéluctable, car un système d'instruction publique un tant soit peu ambitieux devrait arriver le corriger. D'autres enfin trouveront exagéré l'écart académique entre le niveau de prérequis que je suppose afin d'accéder à la culture mathématique et que je situe grosso modo en fin de terminale scientifique et celui que l'on peut imaginer suffisant pour acquérir un début de culture littéraire et qu'on pourrait peut-être situer en fin de 5e. J'opposerais trois arguments à cette objection. Le premier est qu'on présume un peu trop de ce que l'école est capable de faire avec si peu de moyens (je veux dire avec si peu d'heures passées explicitement à l'apprentissage de l'orthographe, de la grammaire, et de l'expression écrite) en matière de maîtrise du langage écrit (c'est d'ailleurs un obstacle majeur à la compréhension des concepts mathématiques), le deuxième est que les mathématiques sont intrinsèquement plus difficiles (pourquoi se le cacher ?) car moins naturelles que le langage, le troisième est que c'est une question relative au contexte scientifique et technique de l'époque : après tout, les mathématiques n'ont fait leur apparition qu'à la fin du XIXe siècle dans l'enseignement secondaire, et leur place n'a fait que croître depuis, jusqu'à une période récente. Il serait assez dans l'idée que je me fais du progrès que le programme actuel de terminale S ne soit plus que d'un niveau seconde d'ici quelques générations (cela ne fera sourire que ceux qui oublient le chemin qui a déjà été parcouru depuis un siècle).
J'en viens au second point : à savoir l'expertise technique. Je vois dans la difficulté à séparer pour les mathématiques ce qui relève de la culture et de la technique, alors qu'on a aucun mal à distinguer la possession d'une culture musicale et la capacité à jouer d'un instrument, un effet du fameux clivage entre "les deux cultures", dont il a été question ici et ailleurs. En effet, pour beaucoup de gens, il n'y a QUE de la technique dans les mathématiques, et peut-être dans les sciences en général, et celles-ci n'ont rien à faire avec la culture. C'est précisément ce contre quoi je me bats. Il me semble que certains théorèmes, et certaines preuves, sont de tels exemples de ce que l'esprit humain peut faire de grand et de beau que les ignorer reviendrait à vivre dans un monde amputé du requiem de Mozart et du duomo de Brunelleschi, pour prendre deux exemples qui me sont chers. Les quelques démonstrations que j'ai citées me semblent en faire partie, et sont accessibles dès que l'on a un minimum de "mathematical literacy". D'autres nécessitent plus de connaissances techniques, mais sont aisément vulgarisables : les problèmes de constructibilité à la règle et au compas par exemple. Les magazines scientifiques s'attellent d'ailleurs souvent à cette tâche, on trouvera un exemple récent (malheureusement assez peu réussi) dans le dernier numéro des "Génies de la science" consacré à Gauss. Je ne me souviens pas avoir lu d'articles sur le groupe fondamental, puisque cet exemple en a fait tiquer plus d'un, mais ça me paraît être du niveau de ce que l'on trouve habituellement dans Pour la Science. En tout cas je prends ça comme un défi ! Enfin, malgré l'expertise technique incontestablement requise pour la compréhension fine de certains sujets, comme le théorème de Gödel ou la théorie des groupes, leur retentissement sur le reste de la culture ou des sciences, ou sur les mathématiques elles-mêmes, est tel qu'ils ne peuvent tout simplement pas être omis. Il incombe aux mathématiciens de sacrifier une partie de leur temps pour expliquer, du mieux qu'ils le peuvent, ces sujets au public. Ils ne le font pas toujours, pour différentes raisons. Alain Connes le fait, j'en ai déjà parlé ici, et Jean Dieudonné l'a fait aussi, et je finirai sur cet exemple qui illustre parfaitement mon propos. On se souviendra que son livre "Pour l'honneur de l'esprit humain" avait fait un grand succès de librairie suite au brillant passage de son auteur dans l'émission de Bernard Pivot. Je connais personnellement plusieurs personnes qui l'ont acheté, et toutes se sont arrêtés à la page 31 : on y rencontre l'équation des cordes vibrantes. Quand j'ai lu ce livre pour la première fois je devais être en seconde. Je n'ai pas tout compris, mais je ne me suis pas arrêté à la page 31. Je l'ai relu par la suite, et même si je n'en ai pas pris conscience sur le moment, ce livre fut certainement pour beaucoup dans ma décision ultérieure de poursuivre des études de mathématiques, et non de physique comme je l'avais précédemment envisagé. Tout simplement parce qu'il m'a montré que les mathématiques n'était pas qu'un outil au service des autres sciences ou un ensemble de techniques astucieuses, mais une partie intégrante de la culture et l'une des oeuvres les plus grandioses de l'humanité.
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Qu'est-ce qu'une culture mathématique minimale ?
Il est difficile de définir ce qu'est une culture minimale, quel que soit le domaine considéré. Néanmoins, tentons l'expérience. Qu'est-il absolument indispensable de connaître pour avoir une idée de l'évolution, de l'architecture interne, et de l'influence externe des mathématiques, de façon à pouvoir replacer le tout au sein d'une culture générale raisonnablement consistante ?
Ces quelques choix, forcément arbitraires, sont principalement axés sur les problèmes laissés par les Grecs, et sur les bouleversements qui ont permis leur résolution et leur dépassement. L'inconvénient est bien sûr de laisser penser que les mathématiciens ont passé des siècles à réfléchir sur la duplication du cube ou le cinquième postulat d'Euclide, alors qu'en réalité ces sujets étaient presque marginaux. Mais la fidélité historique n'est pas le but recherché : il s'agit simplement de donner des références essentielles.
Voici donc ce qui m'est venu à l'esprit.
Nombres premiers : connaître une démonstration de leur infinité et de l'unicité de la décomposition en produit de facteurs premiers.
Connaître une démonstration de l'irrationalité de racine de 2.
Problèmes classique de duplication du cube, quadrature du cercle, et le principe, dans les grandes lignes de leurs résolutions.
Fondements de la géométrie euclidienne, tentatives de démonstration du 5e postulat, preuve de l'existence de géométries non-euclidiennes, avec au moins un exemple de modèle de la géométrie hyperbolique (par exemple le demi-plan de Poincaré). Notions de géométrie Riemannienne.
Notion d'équipotence d'ensembles infinis, argument diagonal de Cantor, X n'est pas équipotent à P(X).
Crise des fondements des mathématiques, axiome du choix. Théorèmes de Gödel.
Un minimum de théorie des groupes.
Un exemple de foncteur, par exemple le groupe fondamental.
Décomposition en série de Fourier, dans les grandes lignes.
Loi des grands nombres, théorème de la limite centrale.
Le théorème de Faltings, parce qu'il est sublimement beau, et parce que c'est un bel exemple de l'unité des mathématiques.
Merci à mes lecteur de critiquer/compléter ma liste !
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Mathématiques classiques et mathématiques modernes
Parmi les difficultés rencontrées en mathématiques par les étudiants entrant en 1ere année d'études supérieures, il y a, outre la charge de travail, le passage des mathématiques "classiques", pré-XIXème siècle, fondées sur l'intuition géométrique, à des mathématiques "modernes", post-XIXèmes siècles, ressenties comme plus abstraites. J'ai essayé d'expliquer la nécessité de ce passage, à travers l'exemple des nombres complexes, dans une leçon d'introduction, qui pourra, je crois, intéresser certains lecteurs de Mathéphysique.
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À propos du livre de Benoît Rittaud "les mathématiques", dans la collection Idées Reçues.
L'auteur sera présent le 19 mai à une conférence que j'ai déjà signalée plus bas.
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A propos du formidable "Gravitation", de Misner, Thorne et Wheeler, et en hommage à ce dernier, mort au début de la semaine.
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