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Toto passe le Bac

21 Juin 2011, 12:35pm

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Publié par Fabien Besnard

Un ami enseignant m'a fait lire certaines de ses copies. Il s'agit du rattrapage de l'épreuve anticipée de math-info en série L, donc a priori, pas le haut du panier en maths... mais tout de même ! Sur une vingtaine de copies, donc un tout petit échantillon, j'ai pu voir de mes yeux un certain nombre de perles. Elles sont donc parfaitement authentiques, pas comme certaines qui traînent sur internet. Je précise que j'ai retranscrit les réponses à la virgule près, avec les copies sous les yeux, sans les tronquer ni trahir de quelque façon la pensée des candidats, fautes d'orthographes d'origine en prime.

 

Question 1 de l'exercice 1. On donne la série statistique des naissances en millier par an en France entre 1901 et 1920.

 

On a donc un tableau du genre :

 

Année           1901    1902   1903  etc.

 

nb de

naissance    917,1   904,4  884,5 etc.

en milliers

 

La 1ere question est de donner le nombre moyen de naissance par an en milliers. Arrondir la réponse à la centaine.

 

Candidat 1 : 917,1+904,4+etc. (le candidat écrit la somme de toutes les valeurs) = à peu près 20 000. Le nombre moyen de naissance par an en France entre 1901 et 1920 est supérieur à 20 000.

 

Candidat 2 : Le nombre de naissance le plus élevé moins le nombre de naissances le moins élevé donne 917,-412,7=504,4

Le nombre de naissance entre 1901 et 1920 en France métropolitaine est de 504,400

 

Candidat 3 : Entre 1901 et 1920 Le nombre moyen de naissances en France métropolitaine est de 141,056.

Pour trouver ce résultat, il m'a fallu additioner toutes les sommes par an se trouvant dans le tableau. Ce qui m'a donné 14,105. Etant donner que les naissances son en millier, j'ai multiplié par 0,01.

 

Candidat 4 : 1901/917,1=2,072%

1902/904,1=2,103 %

1903/884,5=2,151 %

etc.

1915/483=3,964% (ou 4%)

1916/384,7=4,980% (ou 5%)

1917/412,7=4,645 %

etc.

 

En tout j'ai compté 6 bonnes réponses environ sur 20 copies... pour calculer une moyenne !

 

Ensuite le texte donnait à analyser les naissances entre 1981 et 2000. On demandait de comparer les deux séries en faisant remarquer que l'étendue de la 1ere (période 1901-1920) était 5 fois plus grande que celle de la 2e. La question 4 demandait au candidat quel contexte historique justifiait cette différence (remarquons au passage que ce n'est même pas une question de maths...)

 

Perle 1 : Le "Baby Boom", subvenue pendant la guerre est l'évenement historique qui justifie la différence d'étendue entre les deux séries.

 

Perle 2 : La seconde guerre mondiale...

 

Perle 3 : La guerre froide.

 

Il y avait aussi pas mal de réponses "la guerre", sans préciser laquelle, on est jamais trop prudent...

 

Une autre question portait sur un extrait de carte de type IGN avec courbes de niveau. Il fallait hachurer la partie du plan correspondant aux altitudes comprises entre 5200 m et 5400 m. C'est difficile à reproduire ici, mais ça a donné lieu à pas mal de fantaisies. Là non plus, ce n'est pas vraiment une question de maths, mais même comme ça, il semble que ce soit de plus en difficile aux concepteurs de sujets de rendre les épreuves suffisament triviales pour que tous les candidats réussissent...

 

 

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Diagonalisation à la règle et au compas

14 Juin 2011, 21:13pm

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Publié par Fabien Besnard

L'exposé qui suit est un peu plus technique que d'habitude, mais il s'agit d'un fait simple et joli sur les matrices hermitiennes 2x2 que je n'ai jamais vu nulle part. Aussi aimerais-je le partager avec les lecteurs de Mathéphysique.

 

D'abord quelques rappels. Une matrice a de M_n(C) vérifiant a*=a est dite hermitienne. Une telle matrice est diagonalisable en base orthonormée, ce qui signifie qu'il existe des projecteurs  p_1,...,p_,n de rang 1, sur des directions deux à deux orthogonales, et des valeurs propres x_1,...,x_n réelles telles que a=x_1p_1+...+x_np_n.

 

Dans le cas qui nous importe, on prend n=2. On va voir un moyen purement géométrique de déterminer la décomposition a=x_1p_1+x_2p_2. (Notez que celle-ci est unique sauf si a est un multiple de l'identité).

 

L'espace des matrices hermitiennes d'ordre 2 est un espace vectoriel réel de dimension 4, que nous noterons Herm_2. Il est muni d'une norme euclidienne telle que ||a||²=Tr(aa*)=Tr(a²)=somme des a_ij².  Notons S la sphère unité de Herm_2 pour cette norme. Notons enfin H_1 l'hyperplan de Herm_2 défini par l'ensemble des matrices de trace 1.

 

Notre premier lemme est que S inter H_1 est exactement l'ensemble des projecteurs de rang 1. C'est un exercice très simple de constater en effet que p est un projecteur de rang 1 ssi Tr(p)=Tr(p²)=1. Dans la suite nous noterons P l'ensemble de ces projecteurs. Notons que c'est une sphère dans H_1, centrée sur 1/2 Id, et de rayon sqrt(2)/2. Or H_1 est un espace affine réel de dimension 3 : NOUS POUVONS COMMENCER À FAIRE DES DESSINS !

 

Le deuxième et dernier lemme, est que deux projecteurs de rang 1 sont antipodaux sur P ssi leurs images sont orhogonales. C'est complètement élementaire : c'est juste dire que p+p'=Id ! 

 

Voici maintenant la construction : elle est vraiment très simple. On prend la matrice a quelconque dans Herm_2. On lui retire une constante pour rendre sa trace égale à 1, autrement dit, on abaisse a orthogonalement sur H_1 en suivant la direction de Id. On se retrouve avec a'=a-k Id, où k=(Tr(a)-1)/2. Si a n'est pas un multiple de Id, la matrice a' définit une droite avec le centre de P. L'intersection de cette droite avec p donne deux projecteurs orthogonaux p_1 et p_2. Comme a' appartient à cette droite, il s'écrit comme un barycentre a'=x p_1+(1-x)p_2. C'est la décomposition spectrale de a', d'où l'on déduit immédiatement celle de a.

 

Charmant petit corollaire au passage : a et b commutent ssi les points a' et b' qu'ils déterminent dans H_1 sont alignés avec le centre de P.

 

J'avais mis en titre "à la règle et au compas", mais je dois reconnaître que c'est un peu exagéré : il faut extraire les coordonnées barycentriques de a' pour trouver les valeurs propres de a, ce qui peut se faire à condition toutefois que la règle soit graduée.

 

Une question qu'on peut se poser est bien sûr de savoir comment retrouver les directions propres à partir de points sur P. Autrement dit, de déterminer numériquement la bijection [u]-->p_u entre l'élément de P^1(C) dirigé par le vecteur unitaire u et le point p_u sur la sphère P. Vous aurez deviné que ça n'est rien d'autre que la fibration de Hopf.

 

Une dernière question bien sûr : peut-on généraliser à des matrices d'ordre plus grand que 2 ? Je n'en sais rien, mais la situation est sûrement plus compliquée du fait que l'application [u]-->p_u de P^{n-1}(C) dans Herm_n arrive toujours dans une sphère de H_1, mais son image ne recouvre plus toute la sphère. Par exemple pour n=3 c'est l'intersection d'une sphère avec la cubique Tr(p^3)=1 (ou encore det(p)=0).

 

 

 

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Interview de Pierre Cartier

10 Juin 2011, 18:38pm

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Publié par Fabien Besnard

Je signale une interview de Pierre Cartier sur France Culture, en 5 parties, trouvée via le blog de Peter Woit.

 

On peut trouver les liens ici.

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Projet de programme de maths en TS

15 Mars 2011, 17:55pm

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Publié par Fabien Besnard

Voici le lien.

 

Je n'ai pas encore fait le compte de tout ce qui disparaît (j'ai déjà vu les IPP...), mais ce qui me semble le plus saillant, c'est tout ce qui est désormais du niveau terminale alors qu'avant ça relevait de la 1ere. Un an de moins pour s'approprier tout ça, déjà que les élèves sont fragiles...

Il reste si peu de chose en géométrie que ça en devient pathétique. (Plus aucune étude de transformation du plan ou de l'espace, en particulier.)

 

Des commentaires ?

 

 

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Les enfants sauvages

19 Février 2011, 17:32pm

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Publié par Fabien Besnard

Deux circonstances récentes m'ont poussé à m'intéresser au cas de ces enfants qui se sont retrouvés seuls dans la nature. La première est la diffusion par Arte du film que François Truffaut a réalisé à partir du cas le plus célèbre, celui de Victor de l'Aveyron. Je n'avais jamais vu le film, qui est magistral, mais m'a laissé plus que sceptique. Selon le docteur Itard, qui prendra soin de Victor et tentera, sans grand succès, de l'initier au langage parlé, l'enfant aurait été abandonné en forêt à l'âge de deux ans. Son complet isolement l'aurait empêché d'acquérir le langage. Cependant, au début du film, un autre médecin émet une hypothèse qui m'a immédiatement semblé plus plausible : Victor a été abandonné bien plus tard, et n'a jamais su parler parce qu'il était déficient mental.

 

La seconde circonstance est la diffusion par une autre chaîne (j'ai oublié laquelle, il faut dire que je ne me suis pas attardé), d'un bien moins bon film, tiré d'une histoire délirante, mais présentée comme véridique par son auteur, du moins au début. Je me souviens avoir entendu il y a quelques années Misha Defonseca narrer ses voyages effectués en lupine compagnie sans susciter la moindre incrédulité des journalistes (puisqu'il faut bien employer ce mot) qui la questionnaient.

 

D'où mon interrogation : finalement, y a-t-il le moindre cas de survie en forêt avéré chez un enfant en bas âge, avec ou sans l'aide de loups ? Le sujet est bien sûr passionnant : il s'agit de la question de l'innée et de l'acquis, de l'homme à l'état de nature.

 

Il se trouve qu'un chirurgien qui signe sous le nom de Serge Aroles a écrit un ouvrage très complet sur la question. Après une enquête qui semble très sérieuse, et aidé de ses connaissances médicales, son verdict est sans appel : aucun des cas, nombreux, d'enfants-loups, enfants-singes, enfants-ours, gazelles, blaireaux (si !), qu'il a examiné ne s'est révélé digne de foi. Les nombreux enfants capturés en forêt, depuis le moyen-âge, et sur tous les continents ou presque, et dont on a attribué l'absence de langage et la locomotion parfois quadrupède à leur vie parmi les animaux, s'expliquent beaucoup plus simplement par un handicap mental ou physique. Faux enfants-loups, donc, mais vrais enfants martyrs, qui ont souvent été exhibés pour de l'argent et maltraités.

 

D'après ce que j'ai compris de l'étude de Serge Aroles, il ressort deux cas de figure. Soit l'enfant est un nourrisson lorsqu'il est abandonné en forêt, et, dans des circonstances exceptionnelles, il n'est pas impossible qu'il soit recueilli par une louve, ce secours étant cependant de trop courte durée pour que le petit d'homme atteigne l'âge d'assurer lui même sa survie, soit il est abandonné alors qu'il est déjà autonome, mais dans ce cas, s'il a la chance de survivre quelques années, les carences de son régime alimentaire entraînent un retard mental irrémédiable, ce qui provoque finalement sa perte.

 

Le cas de Victor de l'Aveyron ne fait pas exception : ce dernier n'a, selon Serge Aroles, jamais montré aucune adaptation à la vie sauvage, et n'a survécu qu'en lisière de forêt, chapardant fruits et légumes pour survivre.

 

Dans ce tableau plutôt sombre, une seule lumière. Mais quelle lumière ! Il s'agit de Marie-Angélique, et son histoire est  extraordinaire. Cette amérindienne de la tribu des Renards s'est échappée à l'âge de neuf ans environ en Provence, en 1721, et erra pendant une décennie dans les forêts du royaume de France, avant d'être capturée quelque part en Champagne. Bien qu'elle ne puisse pas être considérée comme une enfant sauvage, puisqu'elle était déjà grande quand elle s'est évadée, son cas est des plus romanesques : trouvée dans un état de très grande régression mentale, "elle apprit à lire et écrire, devint un temps religieuse en une abbaye royale, tomba dans la misère, fut secourue par la reine de France, épouse de Louis XV, refusa un amour qu’un lettré lui offrait, fut tant digne lors de son ultime maladie, un asthme aux longues asphyxies, et mourut assez fortunée, son inventaire après décès en faisant foi. Considérée par le philosophe écossais Monboddo, qui l’interrogea en 1765, comme le personnage le plus extraordinaire de son époque, cette femme d’autrefois est tombée en notre oubli ; elle s’efface, depuis plus de deux siècles, derrière toutes les héroïnes de la fiction."

 

Il y aurait sûrement là de quoi faire un autre film...
 

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New York-Tokyo selon Google Maps

5 Février 2011, 11:13am

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Publié par Fabien Besnard

Un petit moment de détente, via une ami d'ami de facebook :

 

Allez sur Google Maps, itinéraires.

 

Prenez n'importe quel point des USA comme départ (par exemple New York), et n'importe quel point du Japon comme arrivée (par exemple Tokyo).

 

Regardez le descriptif de l'itinéraire (en particulier vers le point 31).

 

Curieusement ça marche aussi depuis le Mexique, mais pas depuis le Canada.  

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Classements

29 Janvier 2011, 10:09am

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Publié par Fabien Besnard

Comme vous l'aurez remarqué je n'ai pas beaucoup de temps à consacrer à ce blog en ce moment. J'ai cependant tenu à prendre deux ou trois minutes pour partager avec vous, chers lecteurs, diverses informations glânées au hasard de mes lectures, et qui sont suffisament éloquentes par elles-mêmes pour me dispenser d'une longue analyse.

 

L'importance que prennent aujourd'hui les classements n'aura échappé à personne. Leur impact est particulièrement fort dans le monde de l'enseignement supérieur et de la recherche. Ainsi avons-nous tous entendu parler du classement de Shanghaï et de sa cruauté envers l'université française. On explique souvent ce phénomène par la taille réduite de nos facultés par rapport à leurs cousines américaines ou britanniques. Cela joue certes un rôle, mais il est intéressant de se pencher un peu plus sur la méthodologie utilisée. J'apprends ainsi par l'entremise de la Gazette des mathématiciens (*), que ce classement "est composé de 6 mesures dont 4 comptent pour 20% : (1) nombre de prix Nobel ou de médailles Fields, (2) nombre de chercheurs parmi la liste des « plus cités » de Thomson Reuters, (3) nombre d’articles publiés dans les revues Nature et Science, (4) nombre total d’articles recensés dans le Web of Science de la compagnie Thomson Reuters. Les 20% restants sont ajustés grâce à deux variables comptant 10% chacune : (5) nombre d’anciens étudiants ayant reçu un prix Nobel ou une médaille Fields, (6) ajustement des résultat précédents selon la taille de l’institution." On peut certainement objecter que ces critères agrègent des données totalement hétérogènes. Mais je ne soupçonnais pas l'importance du biais relevé par l'article de la Gazette : "le choix des revues Nature et Science est très discutable et fortement biaisé quant on sait que 72% des articles publiés dans la revue américaine Science le sont par des auteurs américains, et 67% de ceux parus dans la revue britannique Nature le sont par des britanniques ; et enfin comment se fier à un classement qui fait varier la position d’une université de plus de 100 places selon qu’on attribue le prix Nobel d’Albert Einstein (obtenu en 1922 !) à l’université de Berlin ou de von Humboldt ?" Dans la mesure où ce classement est structurellement biaisé en faveur des institutions américaines et brittaniques, on comprend mal pourquoi tant de dirigeants de grandes écoles et d'universités françaises ont pour objectif explicite d'améliorer leur rang dans celui-ci... sauf si on considère que l'attrait des classements est aussi universel qu'irrépressible.

 

Les classements ont en effet deux vertus irremplaçables. La première est de donner une impression d'objectivité à ceux qui n'ont aucune lumière sur un sujet particulier, et surtout, de leur éviter de prendre des risques. Les meilleurs vins selon la revue untel ne seront sûrement pas des piquettes, et le meilleur restaurant selon telle autre est rarement une gargotte. Bien sûr, à trop suivre ce type de conseil on risque malgré tout de passer à côté de son propre goût .

 

La seconde vertu des classements est incontestablement d'alimenter les conversations. Si vous êtes en manque sur ce dernier point, je vous conseille cet article récemment paru sur arkxiv, qui détermine enfin scien-ti-fi-que-ment (à l'aide d'un algorithme de type pagerank) qui fut le plus grand joueur de tennis de tous les temps. La réponse est un peu surprenante, quoique pas complètement dénuée de fondement, ce qui permet d'en discuter à satiété. Les magazines ont depuis longtemps flairé le filon, avec les classements des hôpitaux, des prépas, des lycées, etc. En voici deux (ici et là) qui ne sont, disons, pas complétement convergents... Précisons que ces deux classements utilisent, et c'est remarquable, les mêmes données brutes.

 

Les classements sont irrésistibles, vous dis-je, et la seule façon de lutter contre eux est d'en inventer de nouveaux. Ainsi, comme le note encore l'article de la Gazette (citant le rapport du sénateur Bourdin)  "le classement de Shanghai est très favorable aux universités américaines... le classement anglais [du Times Higher Education], quant à lui, valorise mieux les performances des établissements du Royaume-Uni... et le classement de Leiden donne de belles places aux universités néerlandaises... Il n’était donc pas inutile qu’un organisme français vienne apporter sa contribution à cette surenchère de classements, pour éclairer d’un jour nouveau les performances des établissements français. De fait, le classement publié en septembre 2007 par l’école des Mines de Paris leur est très favorable, même s’il a fallu pour cela abolir tout critère en rapport avec la recherche et se concentrer sur le devenir des anciens étudiants au sein des entreprises."

 

Rien de meilleur en effet pour l'estime de soi que de se trouver au sommet d'un classement, encore que l'effet soit quelque peu diminué si on en a imaginé soi-même les critères.

 

Alors, je vous le demande, qui a le meilleur revers choppé parmi les agrégés de maths qui réussissent le risotto au cèpes ? Hein ? Qui ?

 

 

(*) L'article cite ici Yves Gingras, La fièvre de l’évaluation de la recherche. Du mauvais usage de faux indicateurs, CIRST, 2008.

 

MAJ 01/02 : un article d'Yves Gingras sur le sujet, sur le site de La Recherche. Merci à Luc Allemand pour ce lien.

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Site d'exercices corrigés niveau licence.

27 Novembre 2010, 19:18pm

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Publié par Fabien Besnard

Voici un site qui propose des milliers d'exercices corrigés, niveau L1 à L3, y compris avec des corrigés vidéo.

 

Une initiative très intéressante pour les étudiants et ceux qui veulent s'y remettre.

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La mode du temps

20 Novembre 2010, 08:09am

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Publié par Fabien Besnard

Décidemment, la question du temps est à la mode. Après le dossier spécial qui lui fut consacré dans La Recherche, et dont j'ai parlé ici, c'est au tour de Pour la Science, avec des articles de Craig Callender, Carlo Rovelli, Roger Balian, Marc Lachièze-Rey, Alain Riazuelo, entre autres.

 

Il sera aussi question du temps à l'IHP, au séminaire Poincaré "Bourbaphy" du 4 et 18 décembre. Ici le point de vue sera celui de la physique. Le programme du 4 est le suivant :

 

10h T. Damour : Temps et relativité
11h C. Villani : (Ir)réversibilité et entropie
14h C. Jarzynski : Time's arrow at the Nanoscale
15h C. Salomon : Mesure du temps au XXI-ème siècle.

Enfin, le temps est au centre des débats du séminaire "philosophie et physique" du REHEIS, auquel je participe régulièrement.

 

 

MAJ 08/01/11 : les textes des exposés sont disponibles ici.

 

MAJ 27/01/11 : vu sur ce blog, un colloque sur le temps à Grenoble.

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Conférence d'Alain Connes à destination des élèves de prépa

10 Novembre 2010, 14:11pm

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Publié par Fabien Besnard

Je retransmets cette information glanée sur le site de la SMF :

 

Une question, un chercheur - novembre 2010 - Alain Connes

"Espace-temps, nombres premiers, deux défis pour la géométrie"

 

par Alain Connes

12 novembre 2010
20h

 

amphithéâtre Hermite
IHP, 11 rue Pierre et Marie Curie
75005 Paris

Conférence donnée dans le cadre du cycle "Une question, un chercheur", ouverte uniquement aux élèves de classes préparatoires et aux étudiants de licence. 

Organisée par : L'Union des Professeurs de Spéciales (UPS), la Société Mathématique de France (SMF), la Société Française de Physique (SFP), l'Institut Henri Poincaré (IHP)

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