Dimanche 13 mai 2012 7 13 /05 /Mai /2012 20:10

Vous avez pu constater que je n'ai pas beaucoup le temps de bloguer en ce moment. Néanmoins, je voulais vous faire profiter d'un petit comparatif des programmes de maths avant/après la réforme. J'espère ne rien avoir oublié.

 

Bien qu'à mon avis ça se passe de commentaires... n'hésitez pas à laisser les vôtres !

 

 

Horaires : 1ere S -1h, Term S +1/2 h

 

Disparaît :

 

asymptote oblique

composée de fonctions (seuls des CP sont étudiés)

dérivée de fog (conséquence du point précédent...)

fonction tangente, et même tangente d'un angle !

Fonction x → a^x, et x → x^a pour a non entier (en particulier fonction racine n-ième)

Notion de continuité en un point

IPP

équa diff linéaires d'ordre 1 à coeffs constants

 

formule d'Euler (je ne lai pas vu dans le programme, donc a priori ça n'y est pas)

|uv|=|u|x|v| (idem)

 

Equations de sphère

Barycentres

Toutes les transformations du plan (même rotation et homothétie)

 

binôme de Newton

toute forme de dénombrement

n! (il y a les coefficients du binôme... mais il est interdit de donner leur formule explicite !)

 

 

formule de la somme des termes d'une suite arithmétique ou géométrique (seuls les cas de 1+2+3+... et 1+q+q²+... sont explicitement au programme)

 

suites adjacentes

 

 

1ere S → Terminale

 

récurrence

 

limite d'une suite

 

limite d'une fonction

 

fonction sinus et cosinus

 

 

avait déjà disparu (je le rappelle pour les plus anciens)

 

fonctions Acos, Asin, Atan

 

chgt de var dans les intégrales

 

équa diff linéaires d'ordre 2 à coeffs constants

 

équa du 2nd degré à coeffs complexes

 

racines de l'unité

 

 

Spécialité :

arithmétique (rem : la notion de nb premier, de nb premiers entre eux, de PGCD, sera entièrement inconnue des élèves n'ayant pas fait spé maths)

 

matrices 2x2, marche aléatoire sur un graphe (CdM à 2 états) (Remplace les similitudes du plan complexe et les sections de surfaces)

 

Apparaît :

 

Loi normale

intervalle de fluctuation asymptotique (introduction aux tests)

estimation, intervalle de confiance

 

Le théorème de Moivre-Laplace (convergence en loi d'une binomiale « renormalisée » vers la loi normale est admis (of course), des valeurs approchées pour des intervalles de confiance sont à savoir par coeur, etc.

 

De l'algorithmique (essentiellement IF THEN ELSE, FOR, WHILE)

 

Par Fabien Besnard - Publié dans : enseignement
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Mercredi 15 février 2012 3 15 /02 /Fév /2012 18:15

Je reproduis ici le tract que j'ai reçu sur une liste de diffusion. J'en partage quasiment toutes les analyses. Je regrette seulement qu'il n'y ait pas quelques mots sur la réforme du Lycée qui ne risque pas de favoriser les vocations scientifiques (rappel : 200h d'enseignement scientifique supprimées sur 3 ans, de la Seconde à la TS).

 

Démission d’un quart du jury de l’agrégation externe de mathématiques :
les effets de la masterisation.

 

Le système éducatif français est en crise, la situation est grave.
La crise apparaît d'abord dans l'asphyxie des moyens. Les fermetures de classes se
succèdent à un rythme accéléré dans les écoles primaires, les collèges et les lycées.
Les universités n’arrivent pas à accueillir décemment les étudiants ; elles sont
précipitées dans une course effrénée aux financements. Il y a une baisse alarmante
des effectifs dans les études scientifiques ainsi que dans les filières professionnelles.
Les mesures indignes prises récemment à l'encontre des étudiants étrangers
aggravent encore la situation. Élèves, étudiants, parents, chefs d'entreprises,
enseignants, tous perdent peu à peu confiance dans notre système de formation.


Un signe alarmant est la désaffection croissante des étudiants pour le métier de
professeur. Amorcé au début des années 2000, le phénomène a connu en 2011 une
accélération brutale, effet immédiat de l'entrée en vigueur de la réforme de la
formation et du recrutement (connue sous le nom de « masterisation »). Par exemple,
au CAPES externe de mathématiques, où il y avait 846 postes ouverts en 2010 et 950
en 2011, le nombre de candidats présents aux épreuves écrites est passé de 2695 en
2010 à 1285 en 2011 (-53%), le nombre d'admissibles de 1919 à 1047 (-46%), le
nombre d'admis de 846 à 574. Ainsi, l'effondrement du nombre de candidats a été tel
que le jury n'a pu pourvoir en 2011 que 60% des postes offerts. De tels chiffres se
passent de commentaire. Sans être encore aussi catastrophique, la situation de
l'agrégation n'en est pas moins alarmante : le nombre de candidats présents à l'écrit
a régulièrement baissé depuis 2006 (ils étaient 1853 en 2006 et 1124 en 2011), alors
qu'en même temps le nombre de postes augmentait. Les effectifs des préparations au
CAPES ou à l'agrégation restent cette année à un niveau très bas. Pourtant le besoin
en professeurs est énorme. Les rectorats en sont à publier des petites annonces pour
rechercher les professeurs de mathématiques qui leur manquent. On recrute ainsi
dans l'urgence des personnels précaires, non qualifiés et sans formation professionnelle.
Les zones « difficiles » sont les premières touchées, ce qui va à l’encontre de
l'égalité des chances et compromet la vie des générations à venir.


Pour une très grande part, la crise de l’école provient des déséquilibres de la société et
de l’économie, dans le monde comme en France, entraînant une perte de confiance et
des difficultés d’adaptation. Ceci devrait être une raison de plus pour faire de l'école
une priorité, un devoir pour la nation afin de mieux préparer l’avenir.


Pour améliorer l’école il faut reconnaître ses problèmes. Notre système éducatif a
certainement ses faiblesses, qu’il faut corriger. Cependant il a aussi des forces
considérables, qu'il faut absolument préserver. L'une d'elles, reconnue dans le monde
entier, était sa capacité de formation et de recrutement des enseignants, garantissant
de très solides bases scientifiques et humanistes. Or dans sa frénésie de réformes, le
ministère de l’éducation nationale est en train de détruire sciemment cette capacité.
Nous ne pouvons pas rester passifs devant cette entreprise de démolition.

La masterisation a été imposée sans aucune concertation, contre l'avis quasi unanime
de la communauté éducative (cf. le récent rapport Jolion2). L'exigence du diplôme de
master pour tous les concours d’enseignants a détourné un grand nombre de
candidats potentiels. Beaucoup des meilleurs étudiants, pour lesquels la deuxième
année de master est une ouverture naturelle vers la recherche, ont déserté les
préparations à l'agrégation. D'un autre côté, des étudiants moins brillants ont reculé
devant la difficulté supplémentaire que représentait le master. Le flux, modeste mais
régulier, et bénéfique, de candidats venus d'autres secteurs d'activité professionnelle
pour une reconversion a été stoppé net.


L'un des aspects les plus graves de la réforme en cours est l'attribution d'un service
d'enseignement à temps plein aux lauréats, juste après le concours. Cette mesure n'a
aucune autre justification que l'exigence d'économies budgétaires. Elle a d'ailleurs été
désapprouvée par le Conseil d'État3. La formation professionnelle est ainsi sacrifiée.
Une réforme aurait dû avant tout motiver les étudiants et les mettre dans les
meilleures conditions de préparation. C'est exactement le contraire qui s'est produit.


La masterisation a déjà changé le visage de l’agrégation, en diminuant fortement le
nombre des candidats. Or ce concours est un des points les plus forts de notre
système. Son intérêt principal est de garantir un recrutement de qualité indiscutable.
Le stage qui suivait l’admission complétait la formation professionnelle. Les conditions
nouvelles d’inscription ont changé la donne, là où il n’y avait aucune nécessité.


Une conséquence de la suppression de l'année de formation professionnelle après le
concours a été l’introduction de l’épreuve « agir en fonctionnaire de l'état et de façon
éthique et responsable », censée tester la déontologie et les qualités humaines du
candidat en un quart d’heure lors de l’oral, plutôt qu’au cours d'une année
d'apprentissage sur le terrain. Le jury de l'agrégation de mathématiques,
pratiquement unanime, avait lors de la session 2010 indiqué dans une motion rendue
publique son opposition à l'instauration de cette nouvelle épreuve dans ces conditions.
Plusieurs jurys d'autres disciplines en avaient fait autant. La moitié du jury de
l’agrégation de philosophie avait même démissionné pour protester contre l’absurdité
de l’épreuve « agir ». Le ministère n'a même pas daigné répondre à ces critiques. Au
contraire, il s'est ingénié à dénaturer encore plus le concours en y introduisant des
contraintes nouvelles (certification en informatique et en langues, à un niveau
clairement irréaliste), toujours sans concertation et sans préparation.


À ces contraintes s'est ajoutée une complication supplémentaire : le ministère a
imposé à tous les jurys un calendrier extrêmement serré qui, pour les concours à gros
effectifs comme celui de mathématiques, a transformé la session d'oral 2011 en un
marathon très difficile à gérer. Annoncé comme exceptionnel par le ministère, ce
resserrement du calendrier a été accepté par notre jury, soucieux de préserver
l'agrégation, de permettre aux candidats de faire valoir leur travail de préparation, et
d'assurer aussi bien qu'il le pouvait le recrutement de professeurs pour pourvoir les
288 postes mis au concours en 2011.


Mais les membres du jury ont en même temps voulu renvoyer à leur tutelle un
message d'alerte exprimant leur inquiétude quant à la détérioration du concours et
plus généralement des conditions de formation et de recrutement des professeurs.
Cette démarche n'était pas destinée à être rendue publique, mais un nouveau diktat
ministériel concernant la session 2012 a mis le feu aux poudres : le calendrier, loin de
redevenir normal, allait être encore plus resserré ; le jury disposait de moins de temps
2. http://smf.emath.fr/files/text_like_files/rapportjolion.pdf
3. http://arianeinternet.conseil-etat.fr/arianeinternet/getdoc.asp?id=192811&fonds=DCE&item=2
alors que vingt postes de plus étaient à pourvoir. La seule façon d'organiser le
concours en respectant les délais imposés et sans porter atteinte à l'équité des
épreuves pour tous les candidats serait de diminuer le nombre d'admissibles : prendre
une telle décision pour des raisons purement administratives est pour nous
inacceptable.


Une lettre circonstanciée, signée par une grande majorité des membres du jury 2011,
fut adressée au ministre, détaillant nos inquiétudes sur le fond, et lui demandant
surtout de revoir les dates d’oral (nous suggérions par exemple de moduler celles-ci
suivant les effectifs de chaque concours). Le mécontentement était tel que les
signataires faisaient part de leur intention de ne pas siéger en 2012 s'ils n'obtenaient
pas de réponse. Il y eut certes une réponse, mais indirecte et accablante : adressée au
président du jury, elle le chargeait en quelque sorte de calmer ses troupes, maintenait
les contraintes absurdes du calendrier et ne disait pas un mot des questions de fond.


Aussi, trente d'entre nous, soit plus d'un quart du jury 2011, ont décidé qu'il
n'était plus possible d'assister passivement à la destruction de notre
système de formation et de recrutement. Ils ont pris la grave décision de
démissionner et de rendre publiques les raisons de leur geste.


Le mépris avec lequel la DGRH et le ministère ont traité leur personnel à cette
occasion va bien avec le fond et la forme des réformes récentes. C’est contre tout cela
que les démissionnaires protestent aujourd’hui.


La protestation de membres d'un jury d'agrégation peut apparaître comme dérisoire
au regard de la crise que traverse la société, en particulier du chômage qui frappe
25% des jeunes. À ceux qui voient dans notre démarche une réaction élitiste, émanant
de quelques privilégiés, nous disons que la formation de la jeunesse est la question clé
aujourd’hui, et que nous refusons la destruction en cours des outils de cette formation.
Quelle chance a-t-on d’entrevoir la sortie de la crise si on renonce à donner une
formation de qualité aux futurs citoyens ?


Or les conséquences des réformes actuelles sont déjà visibles : on enverra dans les
classes de jeunes professeurs moins motivés, moins bien formés scientifiquement,
sans ou presque sans formation pédagogique ni professionnelle. Un gâchis patent,
pour ces professeurs autant que pour leurs élèves.


Le système d'éducation français a longtemps été un modèle. Il est urgent qu'il le
redevienne. Nos universités devraient attirer des étudiants du monde entier. C'est
particulièrement vrai en mathématiques, où l'école française est une des meilleures
du monde. Mais ne nous y trompons pas, l'élite ne peut pas reposer sur du vide. Nos
médailles Fields ne sont pas une rente éternelle. La dégradation générale aura
inévitablement des répercussions sur l'ensemble du tissu scientifique, et en particulier
sur notre recherche de pointe.


Il est urgent de redonner au métier d'enseignant l'éclat qu'il a perdu. N'attendons pas
qu'il soit trop tard. En défendant un outil de formation et de recrutement efficace, c'est
à l'avenir de tous les jeunes que nous pensons.


Liste des trente démissionnaires*
Dominique Barbolosi
Professeur, université d'Aix-Marseille
Daniel Bennequin
Professeur, université Paris Diderot
Laurent Bernis
Professeur de classes préparatoires, lycée Kerichen, Brest
Franck Boyer
Professeur, université d'Aix-Marseille
* Olivier Brinon
Maître de conférences, université Paris-Nord
Marie-Line Chabanol
Maître de conférences, université Bordeaux 1
René Cori
Maître de conférences, université Paris Diderot
Hubert Correia
Professeur de classes préparatoires, lycée Michel Montaigne, Bordeaux
* Clément De Seguins Pazzis
Professeur de classes préparatoires, lycée Sainte-Geneviève, Versailles
Sandrine Dozias
Professeur de classes préparatoires, lycée Descartes, Tours
* Denis Favennec
Professeur de classes préparatoires, lycée Michel Montaigne, Bordeaux
Jean-Christophe Feauveau
Professeur de classes préparatoires, lycée de Bellevue, Toulouse
Françoise Fontanez
Professeur de classes préparatoires, lycée Marcelin Berthelot, Saint-Maur
Jean-Claude Fort
Professeur, université Paris Descartes
Serge Francinou
Professeur de classes préparatoires, lycée Charlemagne, Paris
Isabelle Gaudron
Maître de conférences, université Paris-Nord
Hervé Gaussier
Professeur, université Joseph Fourier, Grenoble
Stéphane Gonnord
Professeur de classes préparatoires, lycée du Parc, Lyon
Thierry Klein
Professeur, université Joseph Fourier, Grenoble
Bernard Loiseau
Professeur de classes préparatoires, lycée Marcelin Berthelot, Saint-Maur
Edith Méthou
Professeur de classes préparatoires, lycée Victor Hugo, Besançon
Nicolas Meunier
Maître de conférences, université Paris Descartes
Rached Mneimné
Maître de conférences, université Paris Diderot
Sylvie Monniaux
Maître de conférences, université d'Aix-Marseille
Bertrand Philibert
Professeur de classes préparatoires, lycée Marcelin Berthelot, Saint-Maur
Simon Riche
Chargé de recherche, CNRS, Clermont-Ferrand
Antoine Rousseau
Chargé de recherche, INRIA, Montpellier
Monique Teillaud
Directrice de recherche, INRIA, Sophia Antipolis
Emmanuel Thomé
Chargé de recherche, INRIA, Lorraine
Jacques-Arthur Weil
Maître de conférences, université de Limoges
* Les 3 collègues signalés par un astérisque ont cependant accepté de corriger l'écrit.

Par Fabien Besnard - Publié dans : enseignement
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Samedi 13 août 2011 6 13 /08 /Août /2011 20:52

À lire sur le site d'Acrimed un article clair et synthétique de Jean Pérès sur ce qu'il faut bien appeler le scandale de l'édition scientifique.

 

Morceaux choisis :

 

"Dans l’ensemble, les prix des revues scientifiques STM [NdMathéphysique : sciences-techniques-médecine] ont augmenté entre 1986 et 2003 (17 ans) de 215% tandis que le prix des livres augmentait de 82% et l’indice des prix de 68%. Pendant les 12 années précédentes, de 1973 à 1985, l’augmentation fut de 711% pour les revues STM [...]"

 

"Or les gestionnaires de ces bibliothèques [Les bibliothèques universitaires, NdM] n’ont quasiment aucune marge de négociation avec les éditeurs car leurs usagers, les chercheurs, ne peuvent pas se passer des revues dont la lecture est indispensable à leur activité. Les éditeurs peuvent ainsi augmenter les prix sans risque de perdre des clients (c’est ce que l’on appelle une clientèle captive)."

 

"En dernière analyse, le « modèle économique » de la commercialisation des revues scientifiques repose sur un véritable pillage des fonds publics consacrés à la recherche. Les enseignants-chercheurs qui sont les producteurs de l’information scientifique, sont en général rémunérés par l’État ou une collectivité publique. Les bibliothèques qui souscrivent les abonnements aux revues scientifiques fonctionnent également, dans leur grande majorité, sur fonds publics. Ainsi les fonds publics reviennent deux fois aux éditeurs privés : une fois comme réduction de frais quand ils rémunèrent la production de recherche (salaires des chercheurs, infrastructures, laboratoires, etc.) et une deuxième fois quand ils financent la consommation (abonnements) de recherche par les bibliothèques."

 

On ne saurait mieux dire.

 

On peut lire aussi la suite de l'article, où l'auteur détaille les deux types de ripostes de la communauté scientifique contre cet oligopole : "l'open  access" et les archives en lignes. Si ces dernières sont aujourd'hui très développées, je suis moins optimiste que l'auteur sur leur capacité à inquiéter les éditeurs scientifiques : tant que l'évaluation des chercheurs reposera  essentiellement sur la quantité d'articles publiés dans des journaux "prestigieux", qui leur appartiennent pour la plupart, ils demeureront incontournables. Seul un fort développement de l'open access, ou une hypothétique modification des critères d'évaluation seraient de nature à modifier les choses.

 

 

Par Fabien Besnard - Publié dans : math-et-physique
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Mardi 21 juin 2011 2 21 /06 /Juin /2011 12:35

Un ami enseignant m'a fait lire certaines de ses copies. Il s'agit du rattrapage de l'épreuve anticipée de math-info en série L, donc a priori, pas le haut du panier en maths... mais tout de même ! Sur une vingtaine de copies, donc un tout petit échantillon, j'ai pu voir de mes yeux un certain nombre de perles. Elles sont donc parfaitement authentiques, pas comme certaines qui traînent sur internet. Je précise que j'ai retranscrit les réponses à la virgule près, avec les copies sous les yeux, sans les tronquer ni trahir de quelque façon la pensée des candidats, fautes d'orthographes d'origine en prime.

 

Question 1 de l'exercice 1. On donne la série statistique des naissances en millier par an en France entre 1901 et 1920.

 

On a donc un tableau du genre :

 

Année           1901    1902   1903  etc.

 

nb de

naissance    917,1   904,4  884,5 etc.

en milliers

 

La 1ere question est de donner le nombre moyen de naissance par an en milliers. Arrondir la réponse à la centaine.

 

Candidat 1 : 917,1+904,4+etc. (le candidat écrit la somme de toutes les valeurs) = à peu près 20 000. Le nombre moyen de naissance par an en France entre 1901 et 1920 est supérieur à 20 000.

 

Candidat 2 : Le nombre de naissance le plus élevé moins le nombre de naissances le moins élevé donne 917,-412,7=504,4

Le nombre de naissance entre 1901 et 1920 en France métropolitaine est de 504,400

 

Candidat 3 : Entre 1901 et 1920 Le nombre moyen de naissances en France métropolitaine est de 141,056.

Pour trouver ce résultat, il m'a fallu additioner toutes les sommes par an se trouvant dans le tableau. Ce qui m'a donné 14,105. Etant donner que les naissances son en millier, j'ai multiplié par 0,01.

 

Candidat 4 : 1901/917,1=2,072%

1902/904,1=2,103 %

1903/884,5=2,151 %

etc.

1915/483=3,964% (ou 4%)

1916/384,7=4,980% (ou 5%)

1917/412,7=4,645 %

etc.

 

En tout j'ai compté 6 bonnes réponses environ sur 20 copies... pour calculer une moyenne !

 

Ensuite le texte donnait à analyser les naissances entre 1981 et 2000. On demandait de comparer les deux séries en faisant remarquer que l'étendue de la 1ere (période 1901-1920) était 5 fois plus grande que celle de la 2e. La question 4 demandait au candidat quel contexte historique justifiait cette différence (remarquons au passage que ce n'est même pas une question de maths...)

 

Perle 1 : Le "Baby Boom", subvenue pendant la guerre est l'évenement historique qui justifie la différence d'étendue entre les deux séries.

 

Perle 2 : La seconde guerre mondiale...

 

Perle 3 : La guerre froide.

 

Il y avait aussi pas mal de réponses "la guerre", sans préciser laquelle, on est jamais trop prudent...

 

Une autre question portait sur un extrait de carte de type IGN avec courbes de niveau. Il fallait hachurer la partie du plan correspondant aux altitudes comprises entre 5200 m et 5400 m. C'est difficile à reproduire ici, mais ça a donné lieu à pas mal de fantaisies. Là non plus, ce n'est pas vraiment une question de maths, mais même comme ça, il semble que ce soit de plus en difficile aux concepteurs de sujets de rendre les épreuves suffisament triviales pour que tous les candidats réussissent...

 

 

Par Fabien Besnard - Publié dans : enseignement
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Mardi 14 juin 2011 2 14 /06 /Juin /2011 21:13

L'exposé qui suit est un peu plus technique que d'habitude, mais il s'agit d'un fait simple et joli sur les matrices hermitiennes 2x2 que je n'ai jamais vu nulle part. Aussi aimerais-je le partager avec les lecteurs de Mathéphysique.

 

D'abord quelques rappels. Une matrice a de M_n(C) vérifiant a*=a est dite hermitienne. Une telle matrice est diagonalisable en base orthonormée, ce qui signifie qu'il existe des projecteurs  p_1,...,p_,n de rang 1, sur des directions deux à deux orthogonales, et des valeurs propres x_1,...,x_n réelles telles que a=x_1p_1+...+x_np_n.

 

Dans le cas qui nous importe, on prend n=2. On va voir un moyen purement géométrique de déterminer la décomposition a=x_1p_1+x_2p_2. (Notez que celle-ci est unique sauf si a est un multiple de l'identité).

 

L'espace des matrices hermitiennes d'ordre 2 est un espace vectoriel réel de dimension 4, que nous noterons Herm_2. Il est muni d'une norme euclidienne telle que ||a||²=Tr(aa*)=Tr(a²)=somme des a_ij².  Notons S la sphère unité de Herm_2 pour cette norme. Notons enfin H_1 l'hyperplan de Herm_2 défini par l'ensemble des matrices de trace 1.

 

Notre premier lemme est que S inter H_1 est exactement l'ensemble des projecteurs de rang 1. C'est un exercice très simple de constater en effet que p est un projecteur de rang 1 ssi Tr(p)=Tr(p²)=1. Dans la suite nous noterons P l'ensemble de ces projecteurs. Notons que c'est une sphère dans H_1, centrée sur 1/2 Id, et de rayon sqrt(2)/2. Or H_1 est un espace affine réel de dimension 3 : NOUS POUVONS COMMENCER À FAIRE DES DESSINS !

 

Le deuxième et dernier lemme, est que deux projecteurs de rang 1 sont antipodaux sur P ssi leurs images sont orhogonales. C'est complètement élementaire : c'est juste dire que p+p'=Id ! 

 

Voici maintenant la construction : elle est vraiment très simple. On prend la matrice a quelconque dans Herm_2. On lui retire une constante pour rendre sa trace égale à 1, autrement dit, on abaisse a orthogonalement sur H_1 en suivant la direction de Id. On se retrouve avec a'=a-k Id, où k=(Tr(a)-1)/2. Si a n'est pas un multiple de Id, la matrice a' définit une droite avec le centre de P. L'intersection de cette droite avec p donne deux projecteurs orthogonaux p_1 et p_2. Comme a' appartient à cette droite, il s'écrit comme un barycentre a'=x p_1+(1-x)p_2. C'est la décomposition spectrale de a', d'où l'on déduit immédiatement celle de a.

 

Charmant petit corollaire au passage : a et b commutent ssi les points a' et b' qu'ils déterminent dans H_1 sont alignés avec le centre de P.

 

J'avais mis en titre "à la règle et au compas", mais je dois reconnaître que c'est un peu exagéré : il faut extraire les coordonnées barycentriques de a' pour trouver les valeurs propres de a, ce qui peut se faire à condition toutefois que la règle soit graduée.

 

Une question qu'on peut se poser est bien sûr de savoir comment retrouver les directions propres à partir de points sur P. Autrement dit, de déterminer numériquement la bijection [u]-->p_u entre l'élément de P^1(C) dirigé par le vecteur unitaire u et le point p_u sur la sphère P. Vous aurez deviné que ça n'est rien d'autre que la fibration de Hopf.

 

Une dernière question bien sûr : peut-on généraliser à des matrices d'ordre plus grand que 2 ? Je n'en sais rien, mais la situation est sûrement plus compliquée du fait que l'application [u]-->p_u de P^{n-1}(C) dans Herm_n arrive toujours dans une sphère de H_1, mais son image ne recouvre plus toute la sphère. Par exemple pour n=3 c'est l'intersection d'une sphère avec la cubique Tr(p^3)=1 (ou encore det(p)=0).

 

 

 

Par Fabien Besnard - Publié dans : math-et-physique
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