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Toto passe le Bac

21 Juin 2011, 12:35pm

Publié par Fabien Besnard

Un ami enseignant m'a fait lire certaines de ses copies. Il s'agit du rattrapage de l'épreuve anticipée de math-info en série L, donc a priori, pas le haut du panier en maths... mais tout de même ! Sur une vingtaine de copies, donc un tout petit échantillon, j'ai pu voir de mes yeux un certain nombre de perles. Elles sont donc parfaitement authentiques, pas comme certaines qui traînent sur internet. Je précise que j'ai retranscrit les réponses à la virgule près, avec les copies sous les yeux, sans les tronquer ni trahir de quelque façon la pensée des candidats, fautes d'orthographes d'origine en prime.

 

Question 1 de l'exercice 1. On donne la série statistique des naissances en millier par an en France entre 1901 et 1920.

 

On a donc un tableau du genre :

 

Année           1901    1902   1903  etc.

 

nb de

naissance    917,1   904,4  884,5 etc.

en milliers

 

La 1ere question est de donner le nombre moyen de naissance par an en milliers. Arrondir la réponse à la centaine.

 

Candidat 1 : 917,1+904,4+etc. (le candidat écrit la somme de toutes les valeurs) = à peu près 20 000. Le nombre moyen de naissance par an en France entre 1901 et 1920 est supérieur à 20 000.

 

Candidat 2 : Le nombre de naissance le plus élevé moins le nombre de naissances le moins élevé donne 917,-412,7=504,4

Le nombre de naissance entre 1901 et 1920 en France métropolitaine est de 504,400

 

Candidat 3 : Entre 1901 et 1920 Le nombre moyen de naissances en France métropolitaine est de 141,056.

Pour trouver ce résultat, il m'a fallu additioner toutes les sommes par an se trouvant dans le tableau. Ce qui m'a donné 14,105. Etant donner que les naissances son en millier, j'ai multiplié par 0,01.

 

Candidat 4 : 1901/917,1=2,072%

1902/904,1=2,103 %

1903/884,5=2,151 %

etc.

1915/483=3,964% (ou 4%)

1916/384,7=4,980% (ou 5%)

1917/412,7=4,645 %

etc.

 

En tout j'ai compté 6 bonnes réponses environ sur 20 copies... pour calculer une moyenne !

 

Ensuite le texte donnait à analyser les naissances entre 1981 et 2000. On demandait de comparer les deux séries en faisant remarquer que l'étendue de la 1ere (période 1901-1920) était 5 fois plus grande que celle de la 2e. La question 4 demandait au candidat quel contexte historique justifiait cette différence (remarquons au passage que ce n'est même pas une question de maths...)

 

Perle 1 : Le "Baby Boom", subvenue pendant la guerre est l'évenement historique qui justifie la différence d'étendue entre les deux séries.

 

Perle 2 : La seconde guerre mondiale...

 

Perle 3 : La guerre froide.

 

Il y avait aussi pas mal de réponses "la guerre", sans préciser laquelle, on est jamais trop prudent...

 

Une autre question portait sur un extrait de carte de type IGN avec courbes de niveau. Il fallait hachurer la partie du plan correspondant aux altitudes comprises entre 5200 m et 5400 m. C'est difficile à reproduire ici, mais ça a donné lieu à pas mal de fantaisies. Là non plus, ce n'est pas vraiment une question de maths, mais même comme ça, il semble que ce soit de plus en difficile aux concepteurs de sujets de rendre les épreuves suffisament triviales pour que tous les candidats réussissent...

 

 

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Diagonalisation à la règle et au compas

14 Juin 2011, 21:13pm

Publié par Fabien Besnard

L'exposé qui suit est un peu plus technique que d'habitude, mais il s'agit d'un fait simple et joli sur les matrices hermitiennes 2x2 que je n'ai jamais vu nulle part. Aussi aimerais-je le partager avec les lecteurs de Mathéphysique.

 

D'abord quelques rappels. Une matrice a de M_n(C) vérifiant a*=a est dite hermitienne. Une telle matrice est diagonalisable en base orthonormée, ce qui signifie qu'il existe des projecteurs  p_1,...,p_,n de rang 1, sur des directions deux à deux orthogonales, et des valeurs propres x_1,...,x_n réelles telles que a=x_1p_1+...+x_np_n.

 

Dans le cas qui nous importe, on prend n=2. On va voir un moyen purement géométrique de déterminer la décomposition a=x_1p_1+x_2p_2. (Notez que celle-ci est unique sauf si a est un multiple de l'identité).

 

L'espace des matrices hermitiennes d'ordre 2 est un espace vectoriel réel de dimension 4, que nous noterons Herm_2. Il est muni d'une norme euclidienne telle que ||a||²=Tr(aa*)=Tr(a²)=somme des a_ij².  Notons S la sphère unité de Herm_2 pour cette norme. Notons enfin H_1 l'hyperplan de Herm_2 défini par l'ensemble des matrices de trace 1.

 

Notre premier lemme est que S inter H_1 est exactement l'ensemble des projecteurs de rang 1. C'est un exercice très simple de constater en effet que p est un projecteur de rang 1 ssi Tr(p)=Tr(p²)=1. Dans la suite nous noterons P l'ensemble de ces projecteurs. Notons que c'est une sphère dans H_1, centrée sur 1/2 Id, et de rayon sqrt(2)/2. Or H_1 est un espace affine réel de dimension 3 : NOUS POUVONS COMMENCER À FAIRE DES DESSINS !

 

Le deuxième et dernier lemme, est que deux projecteurs de rang 1 sont antipodaux sur P ssi leurs images sont orhogonales. C'est complètement élementaire : c'est juste dire que p+p'=Id ! 

 

Voici maintenant la construction : elle est vraiment très simple. On prend la matrice a quelconque dans Herm_2. On lui retire une constante pour rendre sa trace égale à 1, autrement dit, on abaisse a orthogonalement sur H_1 en suivant la direction de Id. On se retrouve avec a'=a-k Id, où k=(Tr(a)-1)/2. Si a n'est pas un multiple de Id, la matrice a' définit une droite avec le centre de P. L'intersection de cette droite avec p donne deux projecteurs orthogonaux p_1 et p_2. Comme a' appartient à cette droite, il s'écrit comme un barycentre a'=x p_1+(1-x)p_2. C'est la décomposition spectrale de a', d'où l'on déduit immédiatement celle de a.

 

Charmant petit corollaire au passage : a et b commutent ssi les points a' et b' qu'ils déterminent dans H_1 sont alignés avec le centre de P.

 

J'avais mis en titre "à la règle et au compas", mais je dois reconnaître que c'est un peu exagéré : il faut extraire les coordonnées barycentriques de a' pour trouver les valeurs propres de a, ce qui peut se faire à condition toutefois que la règle soit graduée.

 

Une question qu'on peut se poser est bien sûr de savoir comment retrouver les directions propres à partir de points sur P. Autrement dit, de déterminer numériquement la bijection [u]-->p_u entre l'élément de P^1(C) dirigé par le vecteur unitaire u et le point p_u sur la sphère P. Vous aurez deviné que ça n'est rien d'autre que la fibration de Hopf.

 

Une dernière question bien sûr : peut-on généraliser à des matrices d'ordre plus grand que 2 ? Je n'en sais rien, mais la situation est sûrement plus compliquée du fait que l'application [u]-->p_u de P^{n-1}(C) dans Herm_n arrive toujours dans une sphère de H_1, mais son image ne recouvre plus toute la sphère. Par exemple pour n=3 c'est l'intersection d'une sphère avec la cubique Tr(p^3)=1 (ou encore det(p)=0).

 

 

 

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Interview de Pierre Cartier

10 Juin 2011, 18:38pm

Publié par Fabien Besnard

Je signale une interview de Pierre Cartier sur France Culture, en 5 parties, trouvée via le blog de Peter Woit.

 

On peut trouver les liens ici.

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